１２２	令和６年度前期	東京医科歯科大学	理系	・・・	積分法（数学�V）	標準

東京医科歯科大学　前期理系（２０２４）

第３問　Ｆ（ｘ）を連続関数とするとき、次の各問いに答えよ。

（１）　次の等式を示せ。

　　

（２）　次の等式を示せ。

　　

（３）　次の定積分の値を求めよ。

　　

（解）（１）　ｘ＝π/２−ｔ　とおくと、　ｄｘ＝−ｄｔ　で、

　ｘ＝０　のとき、　ｔ＝π/２　、ｘ＝π/２　のとき、　ｔ＝０

よって、

　左辺＝∫_π/2⁰ Ｆ（ｓｉｎ（π−２ｔ））ｓｉｎ（π/２−ｔ）（−ｄｔ）

　＝∫₀^π/2 Ｆ（ｓｉｎ２ｔ）ｃｏｓｔｄｔ＝∫₀^π/2 Ｆ（ｓｉｎ２ｘ）ｃｏｓｘｄｘ＝右辺

（２）　ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝ｓｉｎ（ｘ＋π/４）　なので、ｘ＋π/４＝θ　と置換すると、

　ｄｘ＝ｄθ　で、　ｘ＝０　のとき、θ＝π/４　、ｘ＝π/２　のとき、θ＝３π/４

また、　ｓｉｎ２ｘ＝ｓｉｎ（２θ−π/２）＝−ｃｏｓ２θ＝１−２ｃｏｓ²θ　なので、

　∫₀^π/2 Ｆ（ｓｉｎ２ｘ）（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）ｄｘ＝∫_π/4^3π/4 Ｆ（１−２ｃｏｓ²θ）・ｓｉｎθｄθ

そこで、　ｃｏｓθ＝ｔ　とおくと、　−ｓｉｎθｄθ＝ｄｔ　で、

　θ＝π/４　のとき、　ｔ＝１　、θ＝３π/４　のとき、　ｔ＝−１

したがって、　∫₀^π/2 Ｆ（ｓｉｎ２ｘ）（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）ｄｘ＝∫_-1¹ Ｆ（１−ｔ²）ｄｔ　が成り立つ。

（３）　（１）より、

　　

なので、

　　

よって、

　　

の値を求めればよい。

　ｔ＝ｓｉｎθ　とおくと、　ｄｔ＝ｃｏｓθｄθ　で、１−ｔ²＝ｃｏｓ²θ　より、　

　Ｉ＝∫₀^π/2 ｃｏｓθ/（１＋ｃｏｓθ)・ｄθ＝∫₀^π/2 ｛１−１/（１＋ｃｏｓθ)｝ｄθ

　＝∫₀^π/2 ｛１−１/（２ｃｏｓ²（θ/２）｝ｄθ

　＝［θ−ｔａｎ（θ/２）］₀^π/2

　＝π/２−１　　（終）



　　以下、工事中！