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| １２０ | 令和６年度前期 | 東京医科歯科大学 | 理系 | ・・・ | 整数（数学Ａ） | やや難 |
東京医科歯科大学 前期理系（２０２４）
第１問 ｎを２以上の自然数とする。自然数の組(ａ1，ａ2，・・・，ａｎ)を解とする方程式
(*) ａ1＋ａ2＋・・・＋ａｎ＝ａ1ａ2・・・ａｎ
を考えるとき、以下の各問いに答えよ。
（１） ｎ＝３のとき、(*)の解(ａ1，ａ2，ａ3)のうち、ａ1≦ａ2≦ａ3 を満たすものをすべて求めよ。
（２） ｎ≧３のとき、(*)の任意の解(ａ1，ａ2，・・・，ａｎ)において、ａｉ＝１となる ｉ が少なくとも
１つ存在することを示せ。
（３） (*)のある解(ａ1，ａ2，・・・，ａｎ)において、ａｉ＝１となる ｉ がちょうど２個存在していると
する。このとき、ｎの取り得る値をすべて求めよ。
（解）（１） 条件より、 ３ａ3≧ａ1＋ａ2＋ａ3＝ａ1ａ2ａ3 より、 ３≧ａ1ａ2
このとき、 （ａ1，ａ2）＝（１，１）、（１，２）、（１，３）
（ａ1，ａ2）＝（１，１） のとき、 ２＋ａ3＝ａ3 は、不適
（ａ1，ａ2）＝（１，２） のとき、 ３＋ａ3＝２ａ3 より、 ａ3＝３
（ａ1，ａ2）＝（１，３） のとき、 ４＋ａ3＝３ａ3 より、 ａ3＝２ これは、ａ2≦ａ3 に矛盾
以上から、 (ａ1，ａ2，ａ3)＝（１，２，３）
（２） ａ1≦ａ2≦・・・≦ａn としても一般性を失わない。
すべての ｉ について、ａｉ≧２ と仮定すると、 ｎａｎ≧ａ1＋ａ2＋・・・＋ａｎ＝ａ1ａ2・・・ａｎ
から、 ｎ≧ａ1ａ2・・・ａｎ-1≧２n-1
しかるに、ｎ≧３ のとき、 ２n-1＞ｎ なので、これは矛盾。
したがって、 ａｉ＝１となる ｉ は少なくとも１つ存在する。
（３） ａ1≦ａ2≦・・・≦ａn としても一般性を失わない。
明らかに、ｎ＝２のときは起こらない。
（１）より、ｎ＝３のときも、条件に不適なので、ｎ≧４ である。
条件より、ａ1＝ａ2＝１ で、２≦ａ3≦・・・≦ａn、２＋ａ3＋・・・＋ａｎ＝ａ3・・・ａｎ が成り立つ。
ｎ＝４ のとき、 ２＋ａ3＋ａ4＝ａ3ａ4 より、 （ａ3−１）（ａ4−１）＝３ なので、
ａ3−１＝１ 、ａ4−１＝３ すなわち、 ａ3＝２ 、ａ4＝４
よって、ｎ＝４ は適である。
ｎ＝５ のとき、 ２＋ａ3＋ａ4＋ａ5＝ａ3ａ4ａ5 より、ａ3＝ａ4＝ａ5＝２ という解を持つので、
ｎ＝５ は適である。
ｎ≧６ のとき、２＋ａ3＋ａ4＋・・・＋ａｎ＝ａ3ａ4・・・ａｎ で、２≦ａ3≦・・・≦ａn と仮定すると、
ａ3ａ4・・・ａｎ＝２＋ａ3＋ａ4＋・・・＋ａｎ≦（ｎ−１）ａｎ
すなわち、 ａ3ａ4・・・ａｎ-1≦ｎ−１ より、 ２ｎ-3≦ｎ−１
しかるに、ｎ≧６ のとき、 ２ｎ-3＞ｎ−１ なので、これは矛盾である。
よって、ｎ≧６ のとき、条件を満たす(*)の解は存在しない。
以上から、条件を満たす ｎ の取り得る値は、 ｎ＝４、５ である。 （終）
以下、工事中！