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| １１７ | 令和６年度前期 | 一橋大学 | 文系 | ・・・ | 式と証明（数学Ⅱ） | 標準 |
一橋大学 前期文系（２０２４）
第３問 Ｆ（ｘ）は ｘ に関する４次多項式で４次の係数は１である。Ｆ（ｘ）は(ｘ＋１)2で割ると１
余り、(ｘ－１）2で割ると２余る。Ｆ（ｘ）を求めよ。
（解） 題意より、Ｆ（ｘ）＝(ｘ＋１)2Ｑ（ｘ）＋１ とおける。Ｑ（ｘ）は２次多項式で２次の係数は１
である。このとき、Ｑ（ｘ）を(ｘ－１）2で割った商は１で、余りは、高々１次式 ａｘ＋ｂ である。
すなわち、 Ｑ（ｘ）＝(ｘ－１）2＋ａｘ＋ｂ とおける。
よって、 Ｆ（ｘ）＝(ｘ＋１)2（(ｘ－１）2＋ａｘ＋ｂ）＋１＝(ｘ＋１)2(ｘ－１）2＋(ｘ＋１)2（ａｘ＋ｂ）＋１
ここで、 (ｘ＋１)2（ａｘ＋ｂ）＋１＝ａｘ3＋（２ａ＋ｂ）ｘ2＋（ａ＋２ｂ）ｘ＋ｂ＋１ なので、
(ｘ－１）2で割った余りは、
(ｘ＋１)2（ａｘ＋ｂ）＋１＝(ｘ－１）2（ａｘ＋４ａ＋ｂ）＋（８ａ＋４ｂ）ｘ－４ａ＋１
(ｘ－１）2で割ると２余るので、 ８ａ＋４ｂ＝０ 、－４ａ＋１＝２ なので、
ａ＝－１/４ 、ｂ＝１/２
以上から、
Ｆ（ｘ）＝(ｘ＋１)2(ｘ－１）2＋(ｘ＋１）2（－（１/４）ｘ＋１/２）＋１
＝ｘ4－２ｘ2＋１－（１/４）ｘ3＋（３/４）ｘ＋３/２
＝ｘ4－（１/４）ｘ3－２ｘ2＋（３/４）ｘ＋５/２ （終）
以下、工事中！