１１６	令和６年度前期	一橋大学	文系	・・・	微分積分（数学�U）	標準

一橋大学　前期文系（２０２４）

第２問　ａ、ｂ を実数とする。曲線Ｃ：ｙ＝ｘ² と曲線Ｃ’：ｙ＝−ｘ²＋ａｘ＋ｂ はある点を共有し
　　ており、その点におけるそれぞれの接線は直交している。ＣとＣ’で囲まれた部分の面積
　　の最小値を求めよ。

　　

（解）　点（ｔ，ｔ²）における曲線Ｃ、Ｃ’の接線が直交するものとする。

　ｙ’＝２ｘ＝２ｔ　、ｙ’＝−２ｘ＋ａ＝−２ｔ＋ａ　より、　２ｔ×（−２ｔ＋ａ）＝−１

　よって、　４ｔ²−２ａｔ−１＝０

また、　ｔ²＝−ｔ²＋ａｔ＋ｂ より、　２ｔ²−ａｔ−ｂ＝０

　このとき、　２ｂ−１＝０　より、　ｂ＝１/２　で、　ａ＝２ｔ−１/（２ｔ）

　曲線Ｃ、Ｃ’の交点は、　ｘ²＝−ｘ²＋ａｘ＋ｂ より、　２ｘ²−ａｘ−ｂ＝０

判別式をＤとすると、　Ｄ＝ａ²＋８ｂ＝ａ²＋４＞０　なので、

　異なる２つの実数解α、β（α＜β）　を持つ。

　α＋β＝ａ/２＝ｔ−１/（４ｔ）　、αβ＝−ｂ/２＝−１/４

このとき、ＣとＣ’で囲まれた部分の面積Ｓは、

　Ｓ＝（β−α）³/３＝｛（β−α）²｝^3/2/３

ここで、　（β−α）²＝（β＋α）²−４αβ＝（ｔ−１/（４ｔ））²＋１＝（ｔ＋１/（４ｔ））²

ｔ＋１/（４ｔ）≧１　、ｔ＋１/（４ｔ）≦−１　なので、（β−α）²≧１

よって、（β−α）² の最小値は、１で、そのときの ｔ の値は、　ｔ＝１/（４ｔ） より、ｔ＝±１/２

以上から、面積Ｓの最小値は、　１/３　である。　　（終）



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