１１５	令和６年度前期	一橋大学	文系	・・・	整数・数列（数Ａ・Ｂ）	やや難

一橋大学　前期文系（２０２４）

第１問　Σ_k=1^m ｋ（ｎ−２ｋ）＝２０２４ を満たす正の整数の組(ｍ，ｎ)を求めよ。

（解）　Σ_k=1^m ｋ（ｎ−２ｋ）

　＝ｎΣ_k=1^m ｋ−２Σ_k=1^m ｋ²＝ｎｍ（ｍ＋１）/２−ｍ（ｍ＋１）（２ｍ＋１）/３

　＝ｍ（ｍ＋１）（３ｎ−４ｍ−２）/６

　＝２０２４＝８×２５３＝２³・１１・２３

よって、　ｍ（ｍ＋１）（３ｎ−４ｍ−２）＝２⁴・３・１１・２３

　ｍ、ｍ＋１　が連続する正の整数であることに注意して、

・ｍ＝１　のとき、ｍ＋１＝２　で、３ｎ−４ｍ−２＝２³・３・１１・２３

　　よって、３ｎ−６＝６０７２　より、　ｎ＝２０２６

・ｍ＝２　のとき、ｍ＋１＝３　で、３ｎ−４ｍ−２＝２³・１１・２３

　　よって、３ｎ−１０＝２０２４　より、　ｎ＝６７８

・ｍ＝３　のとき、ｍ＋１＝４　で、３ｎ−４ｍ−２＝２²・１１・２３

　　よって、３ｎ−１４＝１０１２　より、　ｎ＝３４２

・ｍ＝１１　のとき、ｍ＋１＝１２　で、３ｎ−４ｍ−２＝２²・２３

　　よって、３ｎ−４６＝９２　より、　ｎ＝４６

・ｍ＝２２　のとき、ｍ＋１＝２３　で、３ｎ−４ｍ−２＝２³・３

　　よって、３ｎ−９０＝２４　より、　ｎ＝３８

・ｍ＝２３　のとき、ｍ＋１＝２４　で、３ｎ−４ｍ−２＝２・１１

　　このとき、３ｎ−９４＝２２　を満たす正の整数は存在しない。

以上から、求める正の整数の組(ｍ，ｎ)は、

　　(ｍ，ｎ)＝(１，２０２６)、(２，６７８)、(３，３４２)、(１１，４６)、(２２，３８)　　（終）



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