１１４	令和６年度前期	九州大学	理系	・・・	積分・極限（数学�V）	標準

九州大学　前期理系（２０２４）

第５問　自然数ｍ、ｎに対して、

　　

とする。以下の問いに答えよ。

（１）　Ｉ（ｍ＋１，ｎ＋１）をＩ（ｍ，ｎ＋１）、Ｉ（ｍ，ｎ）、ｍ、ｎ を用いて表せ。
（２）　すべての自然数ｍに対して、ｌｉｍ_ｎ→∞ Ｉ（ｍ，ｎ）＝０ が成り立つことを示せ。

（解）（１）

　Ｉ（ｍ＋１，ｎ＋１）＝［ｅ^ｘ・ｘ^ｍ+1（ｌｏｇｘ）^ｎ+1］₁^ｅ−（ｍ＋１）Ｉ（ｍ，ｎ＋１）−（ｎ＋１）Ｉ（ｍ，ｎ）

　＝ｅ^ｅ・ｅ^ｍ+1−（ｍ＋１）Ｉ（ｍ，ｎ＋１）−（ｎ＋１）Ｉ（ｍ，ｎ）

（２）　（１）より、

　Ｉ（ｍ，ｎ）＝（ｅ^ｅ・ｅ^ｍ+1−（ｍ＋１）Ｉ（ｍ，ｎ＋１）−Ｉ（ｍ＋１，ｎ＋１））/（ｎ＋１）

　ここで、１≦ｘ≦ｅ　において、ｅ^ｘ・ｘ^ｍ（ｌｏｇｘ）^ｎ≧０　なので、　Ｉ（ｍ，ｎ）≧０

　同様にして、　Ｉ（ｍ，ｎ＋１）≧０　、Ｉ（ｍ＋１，ｎ＋１）≧０

　よって、　０≦Ｉ（ｍ，ｎ）≦ｅ^ｅ・ｅ^ｍ+1/（ｎ＋１）　→　０　から、

　ｌｉｍ_ｎ→∞ Ｉ（ｍ，ｎ）＝０ が成り立つ。　　（終）



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