１１２	令和６年度前期	九州大学	理系	・・・	整数（数学Ａ）	標準

九州大学　前期理系（２０２４）

第３問　以下の問いに答えよ。
（１）　自然数 ａ、ｂ が ａ＜ｂ をみたすとき、ｂ！/ａ！≧ｂ が成り立つことを示せ。
（２）　２・ａ！＝ｂ！ をみたす自然数の組(ａ，ｂ)をすべて求めよ。
（３）　ａ！＋ｂ！＝２・ｃ！をみたす自然数の組(ａ，ｂ，ｃ)をすべて求めよ。

（解）（１）　ｂ！/ａ！＝ｂ（ｂ−１）・・・（ｂ−ａ＋１）≧ｂ　である。

（２）　自然数 ａ、ｂ が ａ＜ｂ をみたすとき、（１）より、ｂ（ｂ−１）・・・（ｂ−ａ＋１）＝２　なので、

　　ｂ＝２、ａ＝１

　ａ＝ｂ をみたすとき、　２＝１　となり、不適。

　ａ＞ｂ をみたすとき、（１）より、　ａ！/ｂ！≧ａ　なので、　１/２≧ａ　となり、不適。

　以上から、　(ａ，ｂ)＝(１，２)

（３）　ａ＜ｂ　のとき、　２ａ！＜ａ！＋ｂ！＜２ｂ！　すなわち、　ａ！＜ｃ！＜ｂ！　より、

　ａ＜ｃ＜ｂ　が成り立つ。

　このとき、　２＝ａ！/ｃ！＋ｂ！/ｃ！≧ａ！/ｃ！＋ｂ＞ｂ　となるので、　ｂ＝１

　よって、　ａ＜ｃ＜１　をみたす自然数 ａ、ｃ は存在しないので、この場合は起こらない。

　ａ＞ｂ のときも同様にして、起こらない。

　ａ＝ｂ のとき、　ａ！＋ｂ！＝２・ｃ！より、２ａ！＝２ｃ！ より、ａ＝ｃ　なので、ａ＝ｂ＝ｃ

　したがって、ａ＝ｂ＝ｃ をみたす任意の自然数の組(ａ，ｂ，ｃ)が求めるものである。　　（終）



　　以下、工事中！