１１１	令和６年度前期	九州大学	理系	・・・	複素数平面（数学�V）	やや難

九州大学　前期理系（２０２４）

第２問　整式 Ｆ（ｚ）＝ｚ⁶＋ｚ⁴＋ｚ²＋１ について、以下の問いに答えよ。
（１）　Ｆ（ｚ）＝０ をみたすすべての複素数 z に対して、｜ｚ｜＝１ が成り立つことを示せ。
（２）　次の条件をみたす複素数 w をすべて求めよ。
　　条件：Ｆ（ｚ）＝０ をみたすすべての複素数 z に対して Ｆ（wｚ）＝０ が成り立つ。

（解）（１）　ｚ⁶＋ｚ⁴＋ｚ²＋１＝ｚ⁴（ｚ²＋１）＋ｚ²＋１＝（ｚ²＋１）（ｚ⁴＋１）＝０　なので、

　ｚ²＋１＝０　より、ｚ＝±ｉ　このとき、｜ｚ｜＝１ が成り立つ。

　ｚ⁴＋１＝０　より、　ｚ＝ｅ＾（ｉθ）　（θは実数で、０≦θ＜２π）　とおくと、

　ｅ＾（ｉ・４θ）＝ｅ＾（πｉ＋２ｎπｉ）　より、　４θ＝π＋２ｎπ

　よって、ｎ＝０、１、２、３　として、　θ＝π/４　、３π/４　、５π/４　、７π/４

　α＝ｅ＾（ｉ・π/４）　とおくと、ｚ⁴＋１＝０　の解は、　α　、α³　、α⁵　、α⁷

　このとき、何れにしても　｜ｚ｜＝１ が成り立つ。

（２）　条件が成り立つとき、（１）から、　ｗｚ＝±ｉ　、α　、α³　、α⁵　、α⁷

　特に、ｚ＝ｉ　とすれば、

　ｗ＝±１　、−αｉ　、−α³ｉ　、−α⁵ｉ　、−α⁷ｉ

　　＝±１　、−α³　、−α⁵　、−α⁷　、−α

　　＝±１　、−α 、−α³　、−α⁵　、−α⁷

　明らかに、ｗ＝±１ のとき、条件は成り立つ。

　ｗ＝−α　のとき、　ｚ＝α⁷　とすると、　ｗｚ＝−α⁸＝−１　なので、条件は成り立たない。

　ｗ＝−α³　のとき、　ｚ＝α⁵　とすると、　ｗｚ＝−α⁸＝−１　なので、条件は成り立たない。

　ｗ＝−α⁵　のとき、　ｚ＝α³　とすると、　ｗｚ＝−α⁸＝−１　なので、条件は成り立たない。

　ｗ＝−α⁷　のとき、　ｚ＝α　とすると、　ｗｚ＝−α⁸＝−１　なので、条件は成り立たない。

以上から、求める複素数 w は、±１ である。　　（終）


（コメント）　複素数平面での原点中心の回転を考えれば、ｗ＝±１ は自明かな？



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