![]() |
||||||
110 | 令和6年度前期 | 九州大学 | 理系 | ・・・ | ベクトル(数学B) | 標準 |
九州大学 前期理系(2024)
第1問 a を実数とし、座標空間内の3点P(-1,1,-1)、Q(1,1,1)、R(a,a2,a3) を考
える。以下の問いに答えよ。
(1) a≠-1、a≠1 のとき、3点P、Q、R は一直線上にないことを示せ。
(2) a が-1<a<1の範囲を動くとき、△PQRの面積の最大値を求めよ。
(解)(1) PQ=(2,0,2) 、PR=(a+1,a2-1,a3+1)
a≠-1、a≠1 より、a2-1≠0 なので、 PR=kPQ となる実数kは存在しない。
よって、3点P、Q、R は一直線上にない。
(2) PQ=2 で、直線PQの方程式は、x=z 、y=1 なので、直線PQ上の点Sは、
S(t,1,t) と書ける。 SR=(t-a,1-a2,t-a3) で、SR⊥PQ から、
2(t-a)+2(t-a3)=0 より、 t=(a+a3)/2
このとき、 SR=((-a+a3)/2,1-a2,(a-a3)/2) なので、
SR2=(-a+a3)2/4+(1-a2)2+(a-a3)2/4=(1-a2)2(a2+2)/2
ここで、 y=(1-a2)2(a2+2) とおくと、
y’=2(1-a2)(-2a)(a2+2)+2a(1-a2)2=-6a(1-a2)(1+a2)
a が-1<a<1の範囲を動くとき、増減表は、
となるので、SR2は、a=0のとき、極大かつ最大で、最大値2/2=1 となる。
したがって、△PQRの面積の最大値は、 (1/2)・2・1=
である。 (終)
以下、工事中!