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110 令和6年度前期  九州大学   理系 ・・・  ベクトル(数学B)  標準

九州大学 前期理系(2024)

第1問 a を実数とし、座標空間内の3点P(-1,1,-1)、Q(1,1,1)、R(a,a2,a3) を考
  える。以下の問いに答えよ。 
(1) a≠-1、a≠1 のとき、3点P、Q、R は一直線上にないことを示せ。
(2) a が-1<a<1の範囲を動くとき、△PQRの面積の最大値を求めよ。

(解)(1) PQ=(2,0,2) 、PR=(a+1,a2-1,a3+1)

 a≠-1、a≠1 より、a2-1≠0 なので、 PR=kPQ となる実数kは存在しない。

 よって、3点P、Q、R は一直線上にない。

(2) PQ=2 で、直線PQの方程式は、x=z 、y=1 なので、直線PQ上の点Sは、

 S(t,1,t) と書ける。 SR=(t-a,1-a2,t-a3) で、SRPQ から、

 2(t-a)+2(t-a3)=0 より、 t=(a+a3)/2

このとき、 SR=((-a+a3)/2,1-a2,(a-a3)/2) なので、

 SR2=(-a+a32/4+(1-a22+(a-a32/4=(1-a22(a2+2)/2

ここで、 y=(1-a22(a2+2) とおくと、

 y’=2(1-a2)(-2a)(a2+2)+2a(1-a22=-6a(1-a2)(1+a2

 a が-1<a<1の範囲を動くとき、増減表は、

  

となるので、SR2は、a=0のとき、極大かつ最大で、最大値2/2=1 となる。

 したがって、△PQRの面積の最大値は、 (1/2)・2・1= である。  (終)



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