１１０	令和６年度前期	九州大学	理系	・・・	ベクトル（数学Ｂ）	標準

九州大学　前期理系（２０２４）

第１問　ａ を実数とし、座標空間内の３点P(－１，１，－１)、Q(１，１，１)、R(ａ，ａ²，ａ³) を考
　　える。以下の問いに答えよ。　
（１）　ａ≠－１、ａ≠１ のとき、３点P、Q、R は一直線上にないことを示せ。
（２）　ａ が－１＜ａ＜１の範囲を動くとき、△PQRの面積の最大値を求めよ。

（解）（１）　ＰＱ＝（２，０，２）　、ＰＲ＝（ａ＋１，ａ²－１，ａ³＋１）

　ａ≠－１、ａ≠１ より、ａ²－１≠０　なので、　ＰＲ＝ｋＰＱ　となる実数ｋは存在しない。

　よって、３点P、Q、R は一直線上にない。

（２）　ＰＱ＝２　で、直線ＰＱの方程式は、ｘ＝ｚ　、ｙ＝１　なので、直線ＰＱ上の点Ｓは、

　Ｓ（ｔ，１，ｔ）　と書ける。　ＳＲ＝（ｔ－ａ，１－ａ²，ｔ－ａ³）　で、ＳＲ⊥ＰＱ　から、

　２（ｔ－ａ）＋２（ｔ－ａ³）＝０　より、　ｔ＝（ａ＋ａ³）/２

このとき、　ＳＲ＝（（－ａ＋ａ³）/２，１－ａ²，（ａ－ａ³）/２）　なので、

　ＳＲ²＝（－ａ＋ａ³）²/４＋（１－ａ²）²＋（ａ－ａ³）²/４＝（１－ａ²）²（ａ²＋２）/２

ここで、　ｙ＝（１－ａ²）²（ａ²＋２）　とおくと、

　ｙ’＝２（１－ａ²）（－２ａ）（ａ²＋２）＋２ａ（１－ａ²）²＝－６ａ（１－ａ²）（１＋ａ²）

　ａ が－１＜ａ＜１の範囲を動くとき、増減表は、

　　

となるので、ＳＲ²は、ａ＝０のとき、極大かつ最大で、最大値２/２＝１ となる。

　したがって、△PQRの面積の最大値は、　（１/２）・２・１＝　である。　　（終）



　　以下、工事中！