１０９	令和６年度前期	名古屋大学	理系	・・・	確率・積分（数Ａ・�V）	やや難

名古屋大学　前期理系（２０２４）

第４問　袋の中にいくつかの赤玉と白玉が入っている。すべての玉に対する赤玉の割合を
　　ｐ (０≦ｐ≦１)とする。袋から無作為に玉を一つ取り出して袋に戻す試行を行う。試行をｎ
　　回行うとき、赤玉をｋ回以上取り出す確率をＦ（ｋ）とおく。

（１）　ｎ≧２に対して、Ｆ（１）とＦ（２）を求めよ。
（２）　ｋ＝１、２、・・・、ｎ に対して、等式
　　
　　を示せ。
（３）　自然数ｋに対して、定積分
　　
　　を求めよ。

（解）（１）　題意より、　Ｆ（１）＝１−（１−ｐ）^ｎ　、Ｆ（２）＝１−（１−ｐ）^ｎ−ｎｐ（１−ｐ）^ｎ-1

（２）　ｎ≧２のとき、ｋ＝１、２、・・・、ｎ−１ に対して、Ｆ（ｋ＋１）＝Ｆ（ｋ）−_ｎＣ_ｋ ｐ^ｋ（１−ｐ）^ｎ-k

　そこで、ｋ＝１、２、・・・、ｎ に対して、等式

　　

が成り立つことを数学的帰納法で示す。

　ｋ＝１　のとき、左辺＝Ｆ（１）＝１−（１−ｐ）^ｎ

　右辺＝ｎ∫₀^p （１−ｘ）^n-1ｄｘ＝[−（１−ｘ）ⁿ]₀^p＝１−（１−ｐ）^ｎ

　よって、ｋ＝１のとき、成り立つ。

　ｋ＝ｍ　（ｍ≧１）　のとき、成り立つと仮定する。すなわち、

　　

　ｋ＝ｍ＋１　のとき、

　Ｆ（ｍ＋１）

＝Ｆ（ｍ）−_ｎＣ_ｍ ｐ^ｍ（１−ｐ）^ｎ-ｍ

＝ｎ！/（（ｍ−１）！（ｎ−ｍ）！）・（[（１/ｍ）ｘ^ｍ（１−ｘ）^n-m]₀^p＋（ｎ−ｍ）/ｍ∫₀^p ｘ^ｍ（１−ｘ）^n-m-1ｄｘ）

　−ｎ！/（ｍ！（ｎ−ｍ）！） ｐ^ｍ（１−ｐ）^ｎ-ｍ

＝ｎ！/（ｍ！（ｎ−ｍ）！）ｐ^ｍ（１−ｐ）^n-m＋ｎ！/（ｍ！（ｎ−ｍ−１）！）・∫₀^p ｘ^ｍ（１−ｘ）^n-m-1ｄｘ

　−ｎ！/（ｍ！（ｎ−ｍ）！） ｐ^ｍ（１−ｐ）^ｎ-ｍ

＝ｎ！/（ｍ！（ｎ−ｍ−１）！）・∫₀^p ｘ^ｍ（１−ｘ）^n-m-1ｄｘ

なので、ｋ＝ｍ＋１　のときも成り立つ。

　したがって、ｎ≧２　で、ｋ＝１、２、・・・、ｎ に対して、等式

　　

　が成り立つ。

　ここで、ｎ＝１ のとき、ｋ＝１ なので、右辺＝ｐ　、左辺＝Ｆ（１）＝ｐ　となり、等式は、ｎ＝１

のときも成り立つ。

（３）　（２）で示した等式において、ｋにｋ＋１、ｎに２ｋ＋１、ｐに１/２を代入して、

　Ｆ（ｋ＋１）＝（２ｋ＋１）！/（ｋ！ｋ！）・∫₀^1/2 ｘ^k（１−ｘ）^kｄｘ

ここで、２ｋ＋１回の試行で赤玉がｋ＋１個以上の確率は、

　Ｆ（ｋ＋１）＝Σ_m=k+1^2k+1 _2k+1Ｃ_m（１/２）^m（１−１/２）^2k+1-m＝Σ_m=k+1^2k+1 _2k+1Ｃ_m（１/２）^2k+1

また、２ｋ＋１回の試行で赤玉がｋ個以下、すなわち、白玉がｋ＋１個以上の確率は、

１−Ｆ（ｋ＋１）＝Σ_m=k+1^2k+1 _2k+1Ｃ_m（１−１/２）^m（１/２）^2k+1-m＝Σ_m=k+1^2k+1 _2k+1Ｃ_m（１/２）^2k+1

なので、　Ｆ（ｋ＋１）＝１−Ｆ（ｋ＋１）　から、　Ｆ（ｋ＋１）＝１/２

　したがって、　（２ｋ＋１）！/（ｋ！ｋ！）・∫₀^1/2 ｘ^k（１−ｘ）^kｄｘ＝１/２　から、

　∫₀^1/2 ｘ^k（１−ｘ）^kｄｘ＝（ｋ！）²/｛２（２ｋ＋１）！｝

が成り立つ。　　（終）


（コメント）　いや〜、難しかったですね！



　　以下、工事中！