１０７	令和６年度前期	名古屋大学	理系	・・・	複素数平面（数学�V）	標準

名古屋大学　前期理系（２０２４）

第２問　ｃ を１より大きい実数とする。また、ｉ を虚数単位として、α＝（１−ｉ）/ とおく。
　　複素数 ｚ に対して、
　Ｐ（ｚ）＝ｚ³−３ｚ²＋（ｃ＋２）ｚ−ｃ　、Ｑ（ｚ）＝−α⁷ｚ³＋３α⁶ｚ²＋（ｃ＋２）αｚ−ｃ
と定める。

（１）　方程式 Ｐ（ｚ）＝０ を満たす複素数 ｚ をすべて求め、それらを複素数平面上に図示せ
　　よ。
（２）　方程式 Ｑ（ｚ）＝０ を満たす複素数 ｚ のうち実部が最大のものを求めよ。
（３）　複素数 ｚ についての２つの方程式 Ｐ（ｚ）＝０、Ｑ（ｚ）＝０ が共通解βを持つとする。
　　そのときの c の値とβを求めよ。

（解）（１）　Ｐ（ｚ）＝（ｚ−１）（ｚ²−２ｚ＋ｃ）＝０　から、　ｚ＝１、１±ｉ・√（ｃ−１）　（図示は省略）

（２）　α＝（１−ｉ）/＝ｃｏｓ（π/４）−ｉ・ｓｉｎ（π/４）　より、　α⁴＝−１　即ち、　α⁸＝１

よって、

Ｑ（ｚ）＝−α⁴（αｚ）³＋３α⁴（αｚ）²＋（ｃ＋２）（αｚ）−ｃ

　＝（αｚ）³−３（αｚ）²＋（ｃ＋２）（αｚ）−ｃ

（１）より、　Ｑ（ｚ）＝（（αｚ）−１）（（αｚ）²−２（αｚ）＋ｃ）＝０　なので、

　（αｚ）＝１　、１±ｉ・√（ｃ−１）

ここで、　１/α＝ｃｏｓ（π/４）＋ｉ・ｓｉｎ（π/４）＝（１＋ｉ）/　なので、

　ｚ＝（１＋ｉ）/　、（１＋√（ｃ−１）＋ｉ・（１−√（ｃ−１）））/　、

　（１−√（ｃ−１）＋ｉ・（１＋√（ｃ−１）））/

よって、実部が最大のものは、　（１＋√（ｃ−１）＋ｉ・（１−√（ｃ−１）））/　である。

（３）　（２）より、Ｑ（ｚ）＝０ の解は、Ｐ（ｚ）＝０ の解を原点中心で４５°回転して得られる。

　よって、共通解を持つのは、

　１＋ｉ・√（ｃ−１）＝（１＋√（ｃ−１）＋ｉ・（１−√（ｃ−１）））/

のときに限る。すなわち、

　１＋√（ｃ−１）＝　、√（ｃ−１）＝１−√（ｃ−１）

　√（ｃ−１）＝−１　から、　ｃ−１＝３−２　より、　ｃ＝４−２

　√（ｃ−１）＝１−√（ｃ−１）　から、　（＋１）√（ｃ−１）＝１　なので、

　√（ｃ−１）＝１/（＋１）＝−１　となり、第１式と同じ等式となる。

　このとき、　共通解は、　１＋ｉ・√（ｃ−１）＝１＋ｉ・（−１）　　（終）



　　以下、工事中！