１０６	令和６年度前期	名古屋大学	理系	・・・	微分・整数（数Ａ・�V）	標準

名古屋大学　前期理系（２０２４）

第１問　関数 Ｆ（ｘ）＝＋２/　（ｘ＞０）　に対して、ｙ＝Ｆ（ｘ） のグラフをＣとする。
　　（１）　Ｆ（ｘ）の極値を求めよ。
　　（２）　ｘ 軸上の点P(ｔ，０)からCにちょうど２本の接線を引くことができるとする。そのような
　　　実数 ｔ の値の範囲を求めよ,
　　（３）　（２）において、Cの２つの接点の ｘ 座標をα、β　（α＜β) とする。α、βがともに
　　　整数であるような組(α，β)をすべて求めよ。

（解）（１）　Ｆ’（ｘ）＝（ｘ−２）/（２ｘ）＝０　とおくと、　ｘ＝２

　　

　増減表より、ｘ＝２のとき、極小で、極小値　２

（２）　接点（ｓ，Ｆ（ｓ））における接線の方程式は、ｙ＝（ｓ−２）/（２ｓ√ｓ）・ｘ＋（ｓ＋６）/（２√ｓ）

　点P(ｔ，０)を通るので、　（ｓ−２）/（２ｓ√ｓ）・ｔ＋（ｓ＋６）/（２√ｓ）＝０

　すなわち、　ｓ（ｓ＋６）＋ｔ（ｓ−２）＝０　より、　ｓ²＋（ｔ＋６）ｓ−２ｔ＝０

　ｓ＞０　より、題意を満たすためには、この２次方程式が、異なる２つの正の解を持てばよい。

　判別式をＤとおくと、Ｄ＝（ｔ＋６）²＋８ｔ＝ｔ²＋２０ｔ＋３６＝（ｔ＋２）（ｔ＋１８）＞０　から、

　ｔ＜−１８　、−２＜ｔ

　２次方程式の２つの解をα、βとおくと、　α＋β＞０　、αβ＞０　なので、

　α＋β＝−（ｔ＋６）＞０　から、　ｔ＜−６

　αβ＝−２ｔ＞０　から、　ｔ＜０

　以上から、求める ｔ の値の範囲は、　ｔ＜−１８

（３）　（２）より、　αβ＝２（α＋β＋６）　から、　（α−２）（β−２）＝１６

　α、βは異なる正の整数なので、（α−２，β−２）＝（２，８）、（１，１６）

　すなわち、　（α，β）＝（４，１０）、（３，１８）　　（終）



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