１０４	令和６年度前期	大阪大学	理系	・・・	回転体の体積（数学�V）	標準

大阪大学　前期理系（２０２４）

第４問　ａ＞１とする。ｘｙ平面において、点(ａ，０)を中心とする半径１の円をCとする。
　　（１）　円Ｃの ｘ≧ａ の部分と ｙ 軸および２直線 ｙ＝１、ｙ＝−１ で囲まれた図形を ｙ 軸の
　　　まわりに１回帳してできる回転体の体積Ｖ₁を求めよ。
　　（２）　円Cで囲まれた図形を ｙ 軸のまわりに１回転してできる回転体の体積をV₂とする。
　　　（１）におけるＶ₁について、Ｖ₁＝２Ｖ₂ となる ａ の値を求めよ。

　　

（解）（１）　円Ｃの方程式は、　（ｘ−ａ）²＋ｙ²＝１　すなわち、　ｘ＝ａ±√（１−ｙ²）

　よって、

Ｖ₁＝π∫_-1¹ ｘ²ｄｙ＝２π∫₀¹ （ａ＋√（１−ｙ²））²ｄｙ

　＝２π∫₀¹ （ａ²＋１−ｙ²＋２ａ√（１−ｙ²））ｄｙ

　＝２π（ａ²＋１−１/３＋２ａ・π/４）

　＝π（２ａ²＋４/３＋ａ・π）

（２）　Ｖ₂＝Ｖ₁−２π∫₀¹ （ａ²＋１−ｙ²−２ａ√（１−ｙ²））ｄｙ

　＝π（２ａ²＋４/３＋ａ・π）−２π（ａ²＋１−１/３−２ａ・π/４）

　＝π（２ａ²＋４/３＋ａ・π）−π（２ａ²＋４/３−ａ・π）

　＝２ａπ²

条件より、Ｖ₁＝２Ｖ₂ なので、　π（２ａ²＋４/３＋ａ・π）＝４ａπ²　より、

　２ａ²＋４/３−３ａ・π＝０　すなわち、　６ａ²−９ａ・π＋４＝０　なので、

　ａ＝（９π±√（８１π²−９６））/１２

ここで、Ｆ（ａ）＝６ａ²−９ａ・π＋４　とおくと、　Ｆ（１）＝１０−９π＜０　なので、

　Ｆ（ａ）＝０　は、１より大きい解と１より小さい解を持つ。

　ａ＞１ なので、　ａ＝（９π＋√（８１π²−９６））/１２　である。　　（終）



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