１０２	令和６年度前期	大阪大学	理系	・・・	複素数平面（数学�V）	やや難

大阪大学　前期理系（２０２４）

第２問　α、βを複素数とし、複素数ｚに対して、　Ｆ（ｚ）＝ｚ²＋αｚ＋β　とおく。
　　α、βは、　|Ｆ(１)−３|≦１　かつ　|Ｆ(ｉ)−１|≦３　を満たしながら動く。ただし、i は虚数
　　単位である。

（１）　Ｆ(１＋ｉ) がとりうる値の範囲を求め、複素数平面上に図示せよ。
（２）　Ｆ(１＋ｉ)＝０ であるとき、α、βの値を求めよ。

（解）（１）　Ｆ（１＋ｉ）＝（１＋ｉ）²＋α（１＋ｉ）＋β＝α＋β＋ｉ・（α＋２）

ここで、　Ｆ（１）＝１＋α＋β　、Ｆ(ｉ)＝β−１＋ｉ・α　なので、条件より、

　|α＋β−２|≦１　かつ　|β−２＋ｉ・α|≦３

　今、　α＋β−２＝ｕ　、β−２＋ｉ・α＝ｖ　とおくと、　|ｕ|≦１　かつ　|ｖ|≦３

　（１−ｉ）α＝ｕ−ｖ　即ち、　α＝（ｕ−ｖ）/（１−ｉ）＝（１＋ｉ）（ｕ−ｖ）/２

　（１−ｉ）β−２（１−ｉ）＝ｖ−ｕｉ　即ち、　β＝２＋（ｖ−ｕｉ）/（１−ｉ）＝２＋（１＋ｉ）（ｖ−ｕｉ）/２

このとき、

　Ｆ（１＋ｉ）＝ｕ＋２＋ｉ・（（１＋ｉ）（ｕ−ｖ）/２＋２）

　＝２＋２ｉ＋｛（１＋ｉ）/２｝・ｕ＋｛（１−ｉ）/２｝・ｖ　　ただし、　|ｕ|≦１　かつ　|ｖ|≦３

ここで、　|｛（１＋ｉ）/２｝・ｕ|＝|ｕ|/≦１/　、|｛（１−ｉ）/２｝・ｖ|＝|ｖ|/≦３/

　よって、Ｆ（１＋ｉ）は、点２＋２ｉ から ｛（１＋ｉ）/２｝・ｕ だけ移動後、さらに、｛（１−ｉ）/２｝・ｖ

だけ移動させれば得られる。

　ただし、|｛（１＋ｉ）/２｝・ｕ|≦１/は、原点中心で半径１/の円板で、

　|｛（１−ｉ）/２｝・ｖ|≦３/は、原点中心で半径３/の円板である。

　以上から、Ｆ(１＋ｉ) がとりうる値の範囲は、下図のように、

　点２＋２ｉ を中心とし、半径２ の円の内部および周である。

　　

（２）　Ｆ(１＋ｉ)＝２＋２ｉ＋｛（１＋ｉ）/２｝・ｕ＋｛（１−ｉ）/２｝・ｖ＝０ より、

　｛（１＋ｉ）/２｝・ｕ＝（−（１＋ｉ）/）/＝−（１＋ｉ）/２　から、　ｕ＝−１

　｛（１−ｉ）/２｝・ｖ＝（−３（１＋ｉ）/）/＝−３（１＋ｉ）/２　から、　ｖ＝−３ｉ

なので、このとき、　α＝（１＋ｉ）（ｕ−ｖ）/２＝（１＋ｉ）（−１＋３ｉ）/２＝−２＋ｉ

β＝２＋（１＋ｉ）（ｖ−ｕｉ）/２＝２＋（１＋ｉ）（−３ｉ＋ｉ）/２＝３−ｉ　　（終）



　　以下、工事中！