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| １０１ | 令和６年度前期 | 大阪大学 | 理系 | ・・・ | 極限・微分（数学Ⅲ） | 標準 |
大阪大学 前期理系（２０２４）
第１問 自然数ｎに対して、関数Ｆｎ（ｘ）を
Ｆｎ（ｘ）＝１－（１/２）ｅ＾（ｎｘ）＋ｃｏｓ（ｘ/３） （ｘ≧０）
で定める。ただし、ｅ は自然対数の底である。
（１） 方程式Ｆｎ（ｘ）＝０は、ただ1つの実数解をもつことを示せ。
（２） （１）における実数解をａｎとおくとき、極限値 ｌｉｍｎ→∞ ａｎ を求めよ。
（３） 極限値 ｌｉｍｎ→∞ ｎ・ａｎ を求めよ。
＃参考図として、ｎ＝１、２、３ の場合を描いてみた。
関数Ｆｎ（ｘ）のグラフは、単調減少みたい．．．。ａｎ も単調減少で、０に収束しそう．．．。
（解）（１） Ｆｎ’（ｘ）＝－（ｎ/２）ｅ＾（ｎｘ）－（１/３）ｓｉｎ（ｘ/３）
ｘ≧０ において、 －（ｎ/２）ｅ＾（ｎｘ）≦－ｎ/２ で、 －（１/３）ｓｉｎ（ｘ/３）≦１/３
ｎ≧１ より、 －ｎ/２＋１/３＜０ なので、 Ｆｎ’（ｘ）＜０ となる。
よって、関数Ｆｎ（ｘ）のグラフは、単調減少である。
ここで、 Ｆｎ（０）＝１－１/２＋１＝３/２＞０
Ｆｎ（３π）＝１－（１/２）ｅ＾（３ｎπ）－１＝－（１/２）ｅ＾（３ｎπ）＜０
なので、方程式Ｆｎ（ｘ）＝０は、０と３πの間に、ただ1つの実数解をもつ。
（２） １－（１/２）ｅ＾（ｎａｎ）＋ｃｏｓ（ａｎ/３）＝０ から、
ｅ＾（ｎａｎ）＝２（１＋ｃｏｓ（ａｎ/３））≦４
よって、 ｎａｎ≦ｌｏｇ４ より、 ０＜ａｎ≦（１/ｎ）ｌｏｇ４ なので、 ｌｉｍｎ→∞ ａｎ＝０
（３） ｅ＾（ｎａｎ）＝２（１＋ｃｏｓ（ａｎ/３）） において、（２）より、ｌｉｍｎ→∞ ａｎ＝０ なので、
ｌｉｍｎ→∞ ｅ＾（ｎａｎ）＝４ すなわち、 ｌｉｍｎ→∞ ｎ・ａｎ＝ｌｏｇ４ である。 （終）
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