![]() |
||||||
101 | 令和6年度前期 | 大阪大学 | 理系 | ・・・ | 極限・微分(数学V) | 標準 |
大阪大学 前期理系(2024)
第1問 自然数nに対して、関数Fn(x)を
Fn(x)=1−(1/2)e^(nx)+cos(x/3) (x≧0)
で定める。ただし、e は自然対数の底である。
(1) 方程式Fn(x)=0は、ただ1つの実数解をもつことを示せ。
(2) (1)における実数解をanとおくとき、極限値 limn→∞ an を求めよ。
(3) 極限値 limn→∞ n・an を求めよ。
#参考図として、n=1、2、3 の場合を描いてみた。
関数Fn(x)のグラフは、単調減少みたい...。an も単調減少で、0に収束しそう...。
(解)(1) Fn’(x)=−(n/2)e^(nx)−(1/3)sin(x/3)
x≧0 において、 −(n/2)e^(nx)≦−n/2 で、 −(1/3)sin(x/3)≦1/3
n≧1 より、 −n/2+1/3<0 なので、 Fn’(x)<0 となる。
よって、関数Fn(x)のグラフは、単調減少である。
ここで、 Fn(0)=1−1/2+1=3/2>0
Fn(3π)=1−(1/2)e^(3nπ)−1=−(1/2)e^(3nπ)<0
なので、方程式Fn(x)=0は、0と3πの間に、ただ1つの実数解をもつ。
(2) 1−(1/2)e^(nan)+cos(an/3)=0 から、
e^(nan)=2(1+cos(an/3))≦4
よって、 nan≦log4 より、 0<an≦(1/n)log4 なので、 limn→∞ an=0
(3) e^(nan)=2(1+cos(an/3)) において、(2)より、limn→∞ an=0 なので、
limn→∞ e^(nan)=4 すなわち、 limn→∞ n・an=log4 である。 (終)
以下、工事中!