１００	令和６年度前期	東京工業大学	理系	・・・	確率・極限（数Ａ・Ｂ・�V）	やや難

東京工業大学　前期理系（２０２４）

第４問　ｎを正の整数とし、Ｃ₁、・・・、Ｃ_ｎ をｎ枚の硬貨とする。各ｋ＝１、・・・、ｎ に対し、硬
　　貨Ｃ_ｋ を投げて表が出る確率をｐ_ｋ、裏が出る確率を 1−ｐ_ｋ とする。このｎ枚の硬貨を
　　同時に投げ、表が出た硬貨の枚数が奇数であれば成功、というゲームを考える。

（１）　ｐ_ｋ＝１/３　（ｋ＝１、・・・、ｎ）　のとき、このゲームで成功する確率Ｘ_ｎを求めよ。
（２）　ｐ_ｋ＝１/（２（ｋ＋１））　（ｋ＝１、・・・、ｎ）　のとき、このゲームで成功する確率Ｙ_ｎを求め
　よ。
（３）　ｎ＝３ｍ　（ｍは正の整数）　で、ｋ＝１、・・・、３ｍ に対して、

　ｋ＝１、・・・、ｍ　のとき、　ｐ_ｋ＝１/（３ｍ）
　ｋ＝ｍ＋１、・・・、２ｍ　のとき、　ｐ_ｋ＝２/（３ｍ）
　ｋ＝２ｍ＋１、・・・、３ｍ　のとき、　ｐ_ｋ＝１/ｍ

とする。このゲームで成功する確率をＺ_3mとするとき、ｌｉｍ_m→∞ Ｚ_3m を求めよ.

（解）　題意より、　Ｘ_ｎ+1＝Ｘ_ｎ（１−ｐ_n+1）＋（１−Ｘ_ｎ）ｐ_n+1＝Ｘ_ｎ（１−２ｐ_n+1）＋ｐ_n+1

よって、　Ｘ_ｎ+1−１/２＝（１−２ｐ_n+1）（Ｘ_ｎ−１/２）　と式変形されるので、

　Ｘ_ｎ−１/２＝（１−２ｐ_n）（１−２ｐ_n-1）・・・（１−２ｐ₂）（Ｘ₁−１/２）

　ｎ＝１　のとき、成功するためには、Ｃ₁を投げて表が出ればよい。よって、Ｘ₁＝ｐ₁

したがって、　Ｘ_ｎ＝｛１−（１−２ｐ_n）（１−２ｐ_n-1）・・・（１−２ｐ₂）（１−２ｐ₁）｝/２

（１）　ｐ_ｋ＝１/３　（ｋ＝１、・・・、ｎ）　のとき、　Ｘ_ｎ＝（１−（１/３）^ｎ）/２

（２）　ｐ_ｋ＝１/（２（ｋ＋１））　（ｋ＝１、・・・、ｎ）　のとき、　１−２ｐ_k＝ｋ/（ｋ＋１）　なので、

Ｙ_ｎ＝（１−（１/２）（２/３）（３/４）・・・（ｎ/（ｎ＋１）））/２＝（１−（１/（ｎ＋１））/２＝ｎ/（２（ｎ＋１））

（３）　条件より、Ｚ_3m＝（１−（１−２/（３ｍ））^ｍ（１−４/（３ｍ））^ｍ（１−２/ｍ）^ｍ）/２　なので、

　ｌｉｍ_m→∞ Ｚ_3m ＝（１−ｅ＾（−２/３）ｅ＾（−４/３）ｅ＾（−２））/２＝（１−ｅ＾（−４））/２　　（終）


（コメント）　確率の漸化式が大活躍する問題でした！



　　以下、工事中！