０９９	令和６年度前期	東京工業大学	理系	・・・	数列・極限（数Ｂ・�V）	標準

東京工業大学　前期理系（２０２４）

第３問　ｘｙ 平面上に、点A（ａ，０）、B(０，ｂ）、C(−ａ，０)　(ただし、０＜ａ＜ｂ） をとる。点A、
　　Bを通る直線をＬとし、点Cを通り線分BCに垂直な直線をＫとする。

　さらに、点Aを通り ｙ 軸に平行な直線と直線Ｋとの交点をC₁とし、点Gを通り ｘ 軸に平行な
直線と直線Ｌとの交点をA₁とする。以下、ｎ＝１、２、３、・・・　に対して、点A_ｎを通り ｙ 軸に
平行な直線と直線Ｋとの交点をC_n+1、点C_n+1を通り ｘ 軸に平行な直線と直線Ｌとの交点を
A_n+1とする。

　　

（１）　点A_ｎ、C_ｎ の座標を求めよ。
（２）　△CBA_ｎの面積S_ｎを求めよ。
（３）　ｌｉｍ_ｎ→∞ ＢＡ_ｎ/ＢＣ を求めよ。

（解）（１）　直線Ｌの方程式は、ｙ＝−（ｂ/ａ）ｘ＋ｂ　で、

　直線Ｋの方程式は、ｙ＝−（ａ/ｂ）（ｘ＋ａ）　となる。

　このとき、　Ｃ₁（ａ，−２ａ²/ｂ）　、Ａ₁（ａ（２ａ²＋ｂ²）/ｂ²，−２ａ²/ｂ）　である。

　Ｃ_ｎ（ｘ_ｎ，ｙ_ｎ）　とおくと、ｙ_ｎ＝−（ａ/ｂ）（ｘ_ｎ＋ａ）　で、

　Ａ_ｎ（（ａ/ｂ）²（ｘ_ｎ＋ａ）＋ａ，−（ａ/ｂ）（ｘ_ｎ＋ａ））

なので、　Ｃ_ｎ+1（（ａ/ｂ）²（ｘ_ｎ＋ａ）＋ａ，−（ａ/ｂ）³（ｘ_ｎ＋ａ）−２ａ²/ｂ）

　以上から、　ｘ_ｎ+1＝（ａ/ｂ）²（ｘ_ｎ＋ａ）＋ａ　が成り立つ。

　ｘ_ｎ+1−（ｂ²＋ａ²）ａ/（ｂ²−ａ²）＝（ａ/ｂ）²（ｘ_ｎ−（ｂ²＋ａ²）ａ/（ｂ²−ａ²））　、ｘ₁＝ａ　から、

　ｘ_ｎ−（ｂ²＋ａ²）ａ/（ｂ²−ａ²）＝（ａ−（ｂ²＋ａ²）ａ/（ｂ²−ａ²））（ａ/ｂ）^2ｎ-2

よって、　ｘ_ｎ＝（ｂ²＋ａ²）ａ/（ｂ²−ａ²）−２ａ³/（ｂ²−ａ²）・（ａ/ｂ）^2ｎ-2

　このとき、Ｃ_ｎの ｙ 座標ｙ_ｎは、

ｙ_ｎ＝−（ａ/ｂ）（（ｂ²＋ａ²）ａ/（ｂ²−ａ²）−２ａ³/（ｂ²−ａ²）・（ａ/ｂ）^2ｎ-2＋ａ）

　＝−（ｂ²＋ａ²）ａ²/（ｂ（ｂ²−ａ²））＋２ａ³/（ｂ²−ａ²）・（ａ/ｂ）^2ｎ-1−ａ²/ｂ

　＝−２ａ²ｂ/（ｂ²−ａ²）＋２ａ³/（ｂ²−ａ²）・（ａ/ｂ）^2ｎ-1

　＝−２ａ²ｂ/（ｂ²−ａ²）＋２ａ²ｂ/（ｂ²−ａ²）・（ａ/ｂ）^2ｎ

　＝２ａ²ｂ/（ｂ²−ａ²）・（（ａ/ｂ）^2ｎ−１）

　同様にして、Ａ_ｎ（ｕ_ｎ，ｖ_ｎ）　とおくと、

　ｕ_ｎ＝（ａ/ｂ）²（ｘ_ｎ＋ａ）＋ａ

　＝（ｂ²＋ａ²）ａ³/（ｂ²（ｂ²−ａ²））−２ａ³/（ｂ²−ａ²）・（ａ/ｂ）^2ｎ＋ａ³/ｂ²＋ａ

　＝ａ（ｂ²＋ａ²）/（ｂ²−ａ²）−２ａ³/（ｂ²−ａ²）・（ａ/ｂ）^2ｎ

　ｖ_ｎ＝−（ａ/ｂ）（ｘ_ｎ＋ａ）

　＝−２ａ²ｂ/（ｂ²−ａ²）＋２ａ³/（ｂ²−ａ²）・（ａ/ｂ）^2ｎ-1

　＝−２ａ²ｂ/（ｂ²−ａ²）＋２ａ²ｂ/（ｂ²−ａ²）・（ａ/ｂ）^2ｎ

　＝２ａ²ｂ/（ｂ²−ａ²）・（（ａ/ｂ）^2ｎ−１）

（２）　△CBA_ｎ＝△ＣＢＡ・（ＢＡ_ｎ/ＢＡ）＝△ＣＢＡ・（ｕ_ｎ/ａ）

　（１）より、ｕ_ｎ＝ａ（ｂ²＋ａ²）/（ｂ²−ａ²）−２ａ³/（ｂ²−ａ²）・（ａ/ｂ）^2ｎ　なので、

　ｕ_ｎ/ａ＝（ｂ²＋ａ²）/（ｂ²−ａ²）−２ａ²/（ｂ²−ａ²）・（ａ/ｂ）^2ｎ

　また、△ＣＢＡ＝ａｂ　なので、

　Ｓｎ＝ａｂ（ｂ²＋ａ²）/（ｂ²−ａ²）−２ａ³ｂ/（ｂ²−ａ²）・（ａ/ｂ）^2ｎ

となる。

（３）　（２）と同様にして、ＢＣ＝ＢＡ　なので、　ＢＡ_ｎ/ＢＣ＝ＢＡ_ｎ/ＢＡ＝ｕ_ｎ/ａ

ここで、　ｕ_ｎ/ａ＝（ｂ²＋ａ²）/（ｂ²−ａ²）−２ａ²/（ｂ²−ａ²）・（ａ/ｂ）^2ｎ

　条件より、０＜ａ＜ｂ　なので、　０＜ａ/ｂ＜１

よって、　ｎ → ∞　のとき、　（ａ/ｂ）^2ｎ→ ０　なので、

　ｌｉｍ_ｎ→∞ ＢＡ_ｎ/ＢＣ ＝（ｂ²＋ａ²）/（ｂ²−ａ²）　　（終）


（コメント）　（２）（３）と比べて、（１）の計算が大変でした！



　　以下、工事中！