０９８	令和６年度前期	東京工業大学	理系	・・・	微分積分（数学�V）	標準

東京工業大学　前期理系（２０２４）

第２問　実数全体を定義域にもつ微分可能な関数Ｆ（ｔ）、Ｇ（ｔ）が次の６つの条件を満たして
　　いるとする。

　Ｆ’＝−ＦＧ　、Ｇ’＝Ｆ²　、Ｆ（ｔ）＞０　、｜Ｇ（ｔ）｜＜１　、Ｆ（０）＝１　、Ｇ（０）＝０

　このとき、　ｐ＝Ｆ²＋Ｇ²　、ｑ＝ｌｏｇ｛（１＋Ｇ）/（１−Ｇ）｝　とおく。

（１）　ｐ’を求めよ。
（２）　ｑ’は定数関数であることを示せ。
（３）　lim_t→∞ Ｇ を求めよ.
（４）　Ｆ（Ｔ）＝Ｇ（Ｔ） となる正の実数Ｔに対して、媒介変数表示された平面曲線
　　（ｘ，ｙ）＝（Ｆ（ｔ），Ｇ（ｔ））　（０≦ｔ≦Ｔ）　の長さを求めよ。

（解）（１）　ｐ’＝２ＦＦ’＋２ＧＧ’＝−２Ｆ²Ｇ＋２Ｆ²Ｇ＝０

（２）　（１）より、　ｐ＝（定数）　となるが、　Ｆ（０）＝１　、Ｇ（０）＝０　より、　ｐ＝１　である。

　すなわち、　Ｆ²＋Ｇ²＝１　となる。

このとき、

　ｑ’＝（１−Ｇ）/（１＋Ｇ）・（Ｇ’（１−Ｇ）＋（１＋Ｇ）Ｇ’）/（１−Ｇ）²

　　＝２Ｇ’/｛（１＋Ｇ）（１−Ｇ）｝

　　＝２Ｆ²/｛（１＋Ｇ）（１−Ｇ）｝

をさらに微分して、

　ｑ”＝２｛２ＦＦ’（１＋Ｇ）（１−Ｇ）−Ｆ²（Ｇ’（１−Ｇ）−Ｇ’（１＋Ｇ））｝/｛（１＋Ｇ）²（１−Ｇ）²｝

　　＝２｛−２Ｆ²Ｇ（１＋Ｇ）（１−Ｇ）−Ｆ²（Ｆ²（１−Ｇ）−Ｆ²（１＋Ｇ））｝/｛（１＋Ｇ）²（１−Ｇ）²｝

　　＝２｛−２Ｆ²Ｇ（１＋Ｇ）（１−Ｇ）＋２Ｆ⁴Ｇ｝/｛（１＋Ｇ）²（１−Ｇ）²｝

　　＝４Ｆ²Ｇ｛−（１＋Ｇ）（１−Ｇ）＋Ｆ²｝/｛（１＋Ｇ）²（１−Ｇ）²｝

　　＝４Ｆ²Ｇ｛−１＋Ｇ²＋Ｆ²｝/｛（１＋Ｇ）²（１−Ｇ）²｝＝０　　（←　Ｆ²＋Ｇ²＝１）

となるので、　ｑ’は定数である。

#　ｑ”を計算しなくても、ｑ’を直接計算して、定数であることが示される。

（別解）　１−Ｇ²＝Ｆ²　なので、

　ｑ’＝２Ｆ²/｛（１＋Ｇ）（１−Ｇ）｝＝２Ｆ²/（１−Ｇ²）＝２Ｆ²/Ｆ²＝２

　よって、ｑ’は、定数関数である。

（３）　ｑ’＝２　より、　ｑ＝２ｔ＋Ｃ　で、ｔ＝０　とおくと、　ｑ＝０　なので、　Ｃ＝０

　よって、　ｌｏｇ｛（１＋Ｇ）/（１−Ｇ）｝＝２ｔ　より、　（１＋Ｇ）/（１−Ｇ）＝ｅ^２ｔ

　１＋Ｇ＝ｅ^２ｔ−ｅ^２ｔＧ　より、　Ｇ＝（ｅ^２ｔ−１）/（ｅ^２ｔ＋１）＝（１−１/ｅ^２ｔ）/（１＋１/ｅ^２ｔ）

　ここで、ｔ → ∞　とすると、　１/ｅ^２ｔ → ０　なので、　lim_t→∞ Ｇ＝１

（４）　Ｆ（Ｔ）＝Ｇ（Ｔ） となるとき、Ｆ²＋Ｇ²＝１　より、Ｆ（Ｔ）＝Ｇ（Ｔ）＝１/ となる。

　（３）より、　Ｇ＝（ｅ^２Ｔ−１）/（ｅ^２Ｔ＋１）＝１/ をＴについて解いて、ｅ^２Ｔ＝（＋１）²

　よって、ｅ^Ｔ＝＋１　すなわち、　Ｔ＝ｌｏｇ（＋１）　が定まる。

　平面曲線 （ｘ，ｙ）＝（Ｆ（ｔ），Ｇ（ｔ））　（０≦ｔ≦Ｔ）　において、　Ｆ²＋Ｇ²＝１　から、曲線は円

で、（Ｆ（０），Ｇ（０））＝（１，０）　、（Ｆ（Ｔ），Ｇ（Ｔ））＝（１/，１/）が端点である。

Ｇ’＝Ｆ²＞０　から、Ｇは単調に増加するので、点（ｘ，ｙ）は、円 ｘ²＋ｙ²＝１ 上を、点（１，０）

から点（１/，１/）までを移動する。

　よって、求める曲線の長さは、　１・（π/４）＝π/４　である。　　（終）



　　以下、工事中！