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| ０９７ | 令和６年度前期 | 東京工業大学 | 理系 | ・・・ | 微分（数Ⅱ・Ⅲ） | 標準 |
東京工業大学 前期理系（２０２４）
第１問 ｘｙ 平面上の曲線 ｙ＝（１/２）ｘ2 に、点（ａ，（１/２）ａ2）で接する円のうち、ｙ 軸の正の
部分にも接するものをＳａとおく。ａ が正の実数を動くときのＳａの中心の軌跡をC、特にＳ1
の中心をPとする。
（１） 点Ｐの座標を求めよ。
（２） 点Ｐにおける曲線Cの接線の傾きを求めよ。
（解）（１） 題意より、円Ｓ1の中心Ｐ（ｂ，ｃ）とおくと、半径は、ｂ である。
よって、（ｂ，ｃ）と（１，１/２）の距離がｂより、 （ｂ－１）2＋（ｃ－１/２）2＝ｂ2
すなわち、－２ｂ＋１＋ｃ2－ｃ＋１/４＝０ より、 ｃ2－ｃ＋５/４＝２ｂ
また、ｙ’＝ｘ より、点（１，１/２）における接線の傾きは、１なので、
（ｃ－１/２）/（ｂ－１）＝－１ より、 ｂ＝３/２－ｃ
よって、ｃ2－ｃ＋５/４＝３－２ｃ より、 ｃ2＋ｃ－７/４＝０ なので、 ｃ＝（－１±２
）/２
ここで、 ｃ＞０ なので、 ｃ＝（－１＋２）/２
このとき、 ｂ＝３/２－（－１＋２）/２＝（４－２）/２＝２－
以上から、 Ｐ（２－ ，（－１＋２）/２） である。
（２） （１）と同様にして、 （ｂ－ａ）2＋（ｃ－（１/２）ａ2）2＝ｂ2
すなわち、－２ａｂ＋ａ2＋ｃ2－ａ2ｃ＋（１/４）ａ4＝０ より、ｃ2－ａ2ｃ＋ａ2＋（１/４）ａ4＝２ａｂ
また、ｙ’＝ｘ より、点（ａ，（１/２）ａ2）における接線の傾きは、ａ なので、
（ｃ－（１/２）ａ2）/（ｂ－ａ）＝－１/ａ より、 ｂ＝（１－ｃ）ａ＋（１/２）ａ3
よって、ｃ2－ａ2ｃ＋ａ2＋（１/４）ａ4＝２（１－ｃ）ａ2＋ａ4 より、ｃ2＋ａ2ｃ－ａ2－（３/４）ａ4＝０
このとき、 ｃ＝（－ａ2±２ａ√（ａ2＋１））/２
ここで、 ｃ＞０ なので、 ｃ＝（－ａ2＋２ａ√（ａ2＋１））/２＝－（１/２）ａ2＋ａ√（ａ2＋１）
このとき、 ｂ＝（１＋（１/２）ａ2－ａ√（ａ2＋１））ａ＋（１/２）ａ3＝ａ＋ａ3－ａ2√（ａ2＋１）
点Ｐにおける曲線Cの接線の傾きは、
ｄｂ/ｄａ＝１＋３ａ2－２ａ√（ａ2＋１）－ａ3/√（ａ2＋１）
ａ＝１を代入して、
ｄｂ/ｄａ＝４－２－１/＝（８－５）/２
次に、 ｄｃ/ｄａ＝－ａ＋√（ａ2＋１）＋ａ2/√（ａ2＋１）
ａ＝１を代入して、
ｄｃ/ｄａ＝－１＋＋１/＝（－２＋３）/２
ｄｃ/ｄｂ＝（ｄｃ/ｄａ）/（ｄｂ/ｄａ）＝（－２＋３）/（８－５）＝１＋ （終）
（コメント） ｄｂ/ｄａ＝（８－５）/２ 、ｄｃ/ｄａ＝（－２＋３）/２ という結果に一抹の不
安を感じましたが、ｄｃ/ｄｂ＝１＋ という美しい結果に感動しました！
以下、工事中！