０９６	令和６年度前期	東北大学	理系	・・・	微分積分（数学�V）	難

東北大学　前期理系（２０２４）

第６問　xyz 空間内の xy 平面上にある円 C ： ｘ²＋ｙ²＝１ および円板 D ： ｘ²＋ｙ²≦１ を
　　考える。Dを底面とし点P(０，０，１)を頂点とする円錐をKとする。A(０，−１，０)、B(０，１，０)
　　とする。

　ｘｙｚ 空間内の平面 Ｈ ： ｚ＝ｘ を考える。すなわち、Hは ｘｚ 平面上の直線 ｚ＝ｘ と線分AB
をともに含む平面である。Kの側面とHの交わりとしてできる曲線をEとする。

　−π/２≦θ≦π/２ を満たす実数θに対し、円C上の点Q(cosθ，sinθ，０)をとり、線分PQ
とEの共有点をRとする。

（１）　線分PRの長さを ｒ（θ） とおく。ｒ（θ） を θ を用いて表せ。

（２）　円錐Kの側面のうち、曲線Eの点Aから点Rまでを結ぶ部分、線分PA、および線分PRに
　　より囲まれた部分の面積をS（θ）とおく。θと実数ｈが条件 ０≦θ＜θ＋ｈ≦π/２ を満
　　たすとき、次の不等式が成り立つことを示せ。

　ｈ｛ｒ（θ）｝²/（２）≦S（θ＋ｈ）−S（θ）≦ｈ｛ｒ（θ＋ｈ）｝²/（２）

（３）　円錐Kの側面のうち、円Cの ｘ≧０ の部分と曲線Eにより囲まれた部分の面積をＴとお
　く。Tを求めよ。必要であれぱ tan（θ/２）＝ｕ とおく置換積分を用いてもよい。

　　

（解）（１）　直線ＰＱの方程式は、　ｘ/ｃｏｓθ＝ｙ/ｓｉｎθ＝１−ｚ　なので、平面 ｚ＝ｘ との交

　点Ｒの座標は、　ｘ/ｃｏｓθ＝１−ｘ　より、　ｘ＝ｃｏｓθ/（１＋ｃｏｓθ）

　ｙ＝（ｓｉｎθ/ｃｏｓθ）ｘ＝ｓｉｎθ/（１＋ｃｏｓθ）　、ｚ＝ｘ＝ｃｏｓθ/（１＋ｃｏｓθ）

より、　Ｒ（ｃｏｓθ/（１＋ｃｏｓθ），ｓｉｎθ/（１＋ｃｏｓθ），ｃｏｓθ/（１＋ｃｏｓθ））

このとき、

　｛ｒ（θ）｝²＝ｃｏｓ²θ/（１＋ｃｏｓθ）²＋ｓｉｎ²θ/（１＋ｃｏｓθ）²＋１/（１＋ｃｏｓθ）²

　　＝２/（１＋ｃｏｓθ）²

なので、　ｒ（θ）＝/（１＋ｃｏｓθ）

（２）　円錐Kの側面の展開図

　　

において、条件 ０≦θ＜θ＋ｈ≦π/２ の範囲において、S（θ＋ｈ）−S（θ）は、上図の水

色部分の面積である。明らかに、

中心角α、半径ＯＲの扇形の面積≦S（θ＋ｈ）−S（θ）≦中心角α、半径ＯＲ’の扇形の面積

が成り立つ。

　α＝弧ＱＱ’の長さ＝ｈ　なので、　α＝ｈ/

ここで、　中心角α、半径ＯＲの扇形の面積＝（１/２）｛ｒ（θ）｝²α＝ｈ｛ｒ（θ）｝²/（２）

　中心角α、半径ＯＲ’の扇形の面積＝（１/２）｛ｒ（θ＋ｈ）｝²α＝ｈ｛ｒ（θ＋ｈ）｝²/（２）

なので、

　ｈ｛ｒ（θ）｝²/（２）≦S（θ＋ｈ）−S（θ）≦ｈ｛ｒ（θ＋ｈ）｝²/（２）

が成り立つ。

（３）　（２）より、　｛ｒ（θ）｝²/（２）≦（S（θ＋ｈ）−S（θ））/ｈ≦｛ｒ（θ＋ｈ）｝²/（２）

ｈ → ＋０　のとき、｛ｒ（θ＋ｈ）｝² → ｛ｒ（θ）｝² なので、挟み撃ちの原理により、

　ｌｉｍ_ｈ→＋0 （S（θ＋ｈ）−S（θ））/ｈ＝｛ｒ（θ）｝²/（２）

（２）と同様にして、０≦θ＋ｈ＜θ≦π/２ を満たすとき、

　−ｈ｛ｒ（θ＋ｈ）｝²/（２）≦S（θ）−S（θ＋ｈ）≦−ｈ｛ｒ（θ）｝²/（２）

より、　ｈ｛ｒ（θ）｝²/（２）≦S（θ＋ｈ）−S（θ）≦ｈ｛ｒ（θ＋ｈ）｝²/（２）

　ｌｉｍ_ｈ→-0 （S（θ＋ｈ）−S（θ））/ｈ＝｛ｒ（θ）｝²/（２）

　以上から、０≦θ≦π/２　のとき、　Ｓ’（θ）＝｛ｒ（θ）｝²/（２）　である。

　−π/２≦θ≦０　のときも、同様に、Ｓ’（θ）＝｛ｒ（θ）｝²/（２）　が成り立つ。

したがって、　S（θ）＝∫｛ｒ（θ）｝²/（２）・ｄθ＝（１/）∫１/（１＋ｃｏｓθ）²・ｄθ

　tan（θ/２）＝ｕ とおくと、　１/（２ｃｏｓ²（θ/２））・ｄθ＝１/（１＋ｃｏｓθ）・ｄθ＝ｄｕ　より、

　ｄθ＝（１＋ｃｏｓθ）ｄｕ　で、

　１/（１＋ｃｏｓθ）ｄｕ＝１/（２ｃｏｓ²（θ/２））ｄｕ

　＝（１/２）（１＋ｔａｎ²（θ/２））・ｄｕ＝（１＋ｕ²）/２・ｄｕ

　S（θ）＝（１/（２））∫（１＋ｕ²）ｄｕ

　＝（１/（２））（tan（θ/２）＋（１/３）tan³（θ/２））＋Ｃ　（Ｃは積分定数）

ここで、　S（−π/２）＝（１/（２））（−１−１/３）＋Ｃ＝Ｃ−/３＝０　より、Ｃ＝/３

以上から、　S（θ）＝（１/（２））（tan（θ/２）＋（１/３）tan³（θ/２））＋/３

よって、　S（π/２）＝（１/（２））（１＋１/３）＋/３＝２/３

　また、円錐Ｋを頂点Ｐを通る平面で ｘｙ 平面に垂直に切断したときのｘ≧０部分の側面を展

開した扇形の中心角をβとおくと、　β＝π　より、　β＝π/

よって、扇形の面積は、　（１/２）（）²（π/）＝π/

以上から、　Ｔ＝π/−２/３　　（終）


（コメント）　数学�Vらしい、なかなかハードな計算でした！



　　以下、工事中！