０９５	令和６年度前期	東北大学	理系	・・・	微分（数学�V）	標準

東北大学　前期理系（２０２４）

第５問　ｘ≧２を満たす実数ｘに対し、Ｆ（ｘ）＝（１/ｘ）ｌｏｇ（２ｘ−３）　とおく。必要ならば、
　　ｌｉｍ_ｔ→∞ (ｌｏｇ ｔ)/ｔ＝０ であること、および、自然対数の底 e が ２＜ｅ＜３ を満たすことを
　　証明なしで用いてもよい。

（１）　Ｆ’（ｘ）＝Ｇ（ｘ）/（ｘ2（２ｘ−３）） おくとき、関数Ｇ（ｘ） （ｘ≧２）を求めよ。
（２）　（１）で求めた関数Ｇ（ｘ）に対し、Ｇ（α）＝０ を満たす２以上の実数αがただ１つ存在
　　することを示せ。
（３）　関数Ｆ（ｘ）（ｘ≧２） の増減と極限 ｌｉｍ_ｘ→∞ Ｆ（ｘ） を調べ、ｙ＝Ｆ（ｘ）（ｘ≧２） のグラフの
　　概形を ｘｙ 平面上に描け。
　　　ただし、（２）のαを用いてよい。グラフの凹凸は調べなくてよい。
（４）　２≦ｍ＜ｎ を満たす整数 ｍ、ｎ の組(ｍ，ｎ)に対して、等式
　　(*)　(２ｍ−３）^ｎ＝（２ｎ−３）^ｍ
　　が成り立つとする。このような組(ｍ，ｎ)をすべて求めよ。

（解）（１）　Ｆ’（ｘ）＝（２ｘ/（２ｘ−３）−ｌｏｇ（２ｘ−３））/ｘ²

　＝（２ｘ−（２ｘ−３）ｌｏｇ（２ｘ−３））/（ｘ²（２ｘ−３））　より、Ｇ（ｘ）＝２ｘ−（２ｘ−３）ｌｏｇ（２ｘ−３）

（２）　Ｇ’（ｘ）＝２−２ｌｏｇ（２ｘ−３）−２＝−２ｌｏｇ（２ｘ−３）＜０　より、Ｇ（ｘ）は、ｘ≧２ において

　単調に減少する。特に、Ｇ（２）＝４＞０　で、ｘ → ∞ のとき、

　Ｇ（ｘ）＝（２ｘ−３）（２ｘ/（２ｘ−３）−ｌｏｇ（２ｘ−３）） → −∞ なので、

　Ｇ（α）＝０ を満たす２以上の実数αがただ１つ存在する。

（３）　次の増減表を得る。

　　

　ただし、Ｇ（α）＝０　より、　２α−（２α−３）ｌｏｇ（２α−３）＝０　なので、

　Ｆ（α）＝（１/α）ｌｏｇ（２α−３）＝２/（２α−３）≦２

　ｘ → ∞ のとき、Ｆ（ｘ）＝（２−３/ｘ）・（１/（２ｘ−３））ｌｏｇ（２ｘ−３） → ２・０＝０

　よって、ｙ＝Ｆ（ｘ）（ｘ≧２） のグラフの概形を得る。

　　

（４）　(２ｍ−３）^ｎ＝（２ｎ−３）^ｍ　の両辺の自然対数をとって、

　ｎ・ｌｏｇ(２ｍ−３）＝ｍ・ｌｏｇ(２ｎ−３）　すなわち、（１/ｍ）ｌｏｇ(２ｍ−３）＝（１/ｎ）ｌｏｇ(２ｎ−３）

から、　Ｆ（ｍ）＝Ｆ（ｎ）　となる ２≦ｍ＜ｎ を満たす整数 ｍ、ｎ の組(ｍ，ｎ)を求めればよい。

ここで、Ｆ（３）＝（１/３）ｌｏｇ３　であるが、Ｆ（６）＝（１/６）ｌｏｇ９＝（１/３）ｌｏｇ３　なので、

　Ｆ（３）＝Ｆ（６）　が成り立つ。

　ところで、Ｆ（４）＝（１/４）ｌｏｇ５　、Ｆ（５）＝（１/５）ｌｏｇ７　において、

　５⁵＝３１２５　、７⁴＝２４０１　なので、　５⁵≠７⁴　すなわち、　Ｆ（４）≠Ｆ（５）

以上から、Ｆ（ｍ）＝Ｆ（ｎ）　となる ２≦ｍ＜ｎ を満たす整数 ｍ、ｎ の組(ｍ，ｎ)は、

　（３，６）　のみである。　　（終）



　　以下、工事中！