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| ０９３ | 令和６年度前期 | 東北大学 | 理系 | ・・・ | 確率・数列（数Ａ・Ｂ） | やや難 |
東北大学 前期理系（２０２４）
第３問 ｎを２以上の整数とする。それぞれ A、A、B と書かれた３枚のカードから無作為に１
枚抜き出し、カードをもとに戻す試行を考える。この試行をｎ回繰り返し、抜き出したカード
の文字を順に左から右に並べ、ｎ文字の文字列を作る。作った文字列内に AAA の並び
がある場合は不可とする。また、作った文字列内にBBの並びがある場合も不可とする。
これらの場合以外は可とする。
たとえぱ、ｎ＝６ のとき、文字列 AAAABA や ABBBAA や ABBABB や BBBAAA などは
不可で、文字列 BABAAB や BABABA などは可である。
作った文字列が可で、かつ、右端の２文字がAAである確率を ｐｎ 、作った文字列が可で、
かつ、右端の２文字がBAである確率を ｑｎ 、作った文字列が可で、かつ、右端の文字がB
である確率を ｒn とそれぞれおく。
（１） ｐ2、ｑ2、ｒ2 をそれぞれ求めよ。また、ｐn+l、ｑn+1、ｒn+1 をｐn、ｑn、ｒn を用いてそれぞ
れ表せ。
（２） ｐn＋２ｑn＋２ｒn をｎを用いて表せ。
（３） ｐn＋ｉ・ｑn−（１＋ｉ）ｒn をｎを用いて表せ。ただし、i は虚数単位である。
（４） ｐｎ＝ｒｎ を満たすための、ｎの必要十分条件を求めよ。
（解）（１） ｎ＝２ のとき、ＡＡ から、ｐ2＝（２/３）2＝４/９
ＢＡ から、ｑ2＝（１/３）（２/３）＝２/９
ＡＢ から、ｒ2＝（２/３）（１/３）＝２/９
・・・ＢＡ_Ａ から、ｐn+l＝（２/３）ｑｎ
・・・ＡＢ_Ａ から、ｑn+1＝（２/３）ｒn
・・・ＡＡ_Ｂ または、 ・・・ＢＡ_Ｂ から、ｒn+1＝（１/３）ｐn＋（１/３）ｑn
（２） ｐn+1＋２ｑn+1＋２ｒn+1
＝（２/３）ｑｎ＋（４/３）ｒn＋（２/３）ｐn＋（２/３）ｑn＝（２/３）（ｐn＋２ｑn＋２ｒn）
よって、 ｐn＋２ｑn＋２ｒn＝（２/３）n-2（ｐ2＋２ｑ2＋２ｒ2）＝３（２/３）n
（３） （２）と同様にして、
ｐn+1＋ｉ・ｑn+1−（１＋ｉ）・ｒn+1
＝（２/３）ｑｎ＋ｉ・（２/３）・ｒn−（１＋ｉ）・（（１/３）ｐn＋（１/３）ｑn）
＝−（１＋ｉ）/３・ｐn＋（１−ｉ）/３・ｑn＋（２ｉ/３）・ｒn
＝−（１＋ｉ）/３・（ｐn＋ｉ・ｑn−（１＋ｉ）・ｒn）
なので、
ｐn＋ｉ・ｑn−（１＋ｉ）・ｒn
＝｛−（１＋ｉ）/３｝n-2（ｐ2＋ｉ・ｑ2−（１＋ｉ）・ｒ2）
＝｛−（１＋ｉ）/３｝n-2・（２/９）
＝−ｉ・｛−（１＋ｉ）/３｝n
（４） （３）より、 ｐn＋ｉ・ｑn−（１＋ｉ）・ｒn＝−ｉ・｛−（１＋ｉ）/３｝n
両辺の共役複素数を求めて、 ｐn−ｉ・ｑn−（１−ｉ）・ｒn＝ｉ・｛−（１−ｉ）/３｝n
２式を辺々加えて、
２ｐn−２ｒn
＝−ｉ・｛−（１＋ｉ）/３｝n＋ｉ・｛−（１−ｉ）/３｝n＝−ｉ（−１）ｎ/３ｎ・（（１＋ｉ）ｎ−（１−ｉ）ｎ）
よって、ｐｎ＝ｒｎ を満たすための必要十分条件は、 （１＋ｉ）ｎ−（１−ｉ）ｎ＝０
すなわち、 （１＋ｉ）ｎ/（１−ｉ）ｎ＝１ より、 ｉｎ＝１
したがって、求めるｎの必要十分条件は、 ｎは４の倍数 である。 （終）
以下、工事中！