０９２	令和６年度前期	東北大学	理系	・・・	対数関数（数学�U）	標準

東北大学　前期理系（２０２４）

第２問　以下の問いに答えよ。

（１）　ｔ を ｔ＞１ を満たす実数とする。正の実数 ｘ が２つの条件
　（ａ）　ｘ＞１/（√ｔ−１）
　（ｂ）　ｘ≧２ｌｏｇ_t ｘ
　をともに満たすとする。このとき、不等式　ｘ＋１＞２ｌｏｇ_t （ｘ＋１）　を示せ。

（２）　ｎ≦２ｌｏｇ₂ ｎ を満たす正の整数ｎをすべて求めよ。

（解）（１）　ｔ＞１ より、√ｔ−１＞０ なので、　ｘ（√ｔ−１）＞１　すなわち、　ｘ√ｔ＞ｘ＋１

　ｔ を底とする両辺の対数をとって、　ｌｏｇ_t ｘ ＋１/２＞ｌｏｇ_t （ｘ＋１）

すなわち、　２ｌｏｇ_t ｘ ＋１＞２ｌｏｇ_t （ｘ＋１）

ここで、　ｘ≧２ｌｏｇ_t ｘ　より、　ｘ＋１＞２ｌｏｇ_t （ｘ＋１）　が成り立つ。

＃　（２）を考察する前に、いくつか実験しておこう。

　ｎ≦２ｌｏｇ₂ ｎ を式変形して、　２^ｎ≦ｎ²　となる。左辺は指数関数で、右辺は２次関数なの

で、当然、基本的には、ほとんどの正の整数 ｎ に対して、２^ｎ＞ｎ² が成り立つはずである。

　実際に、ｎ＝１　のとき、　２¹＞１²
　　ｎ＝２　のとき、　２²＝２²
　　ｎ＝３　のとき、　２³＜３²
　　ｎ＝４　のとき、　２⁴＝４²
　　ｎ＝５　のとき、　２⁵＞５²
　　　・・・・・・・・・・・

　　

　以上から、２^ｎ≦ｎ²　となる正の整数 ｎ は、ｎ＝２、３、４ であることが推察される。

　ｎ≧５ において、２^ｎ＞ｎ²　であることを示すのに、（１）を用いよ、というのがヒントになって
いる。

（２）　ｎ≦２ｌｏｇ₂ ｎ を式変形して、　２^ｎ≦ｎ²　となる。

　ｎ＝１　のとき、　２¹＞１²　なので、ｎ＝１ は不適
　ｎ＝２　のとき、　２²＝２²　なので、ｎ＝２ は適
　ｎ＝３　のとき、　２³＜３²　なので、ｎ＝３ は適
　ｎ＝４　のとき、　２⁴＝４²　なので、ｎ＝４ は適
　ｎ＝５　のとき、　２⁵＞５²　なので、ｎ＝５ は不適

　ｎ＝５　のとき、ｎ＞１/（−１）＝＋１　を満たし、かつ、５≧２ｌｏｇ₂ ５　なので、

（１）より、　６＞２ｌｏｇ₂ ６　すなわち、　２⁶＞６²　となる。

　命題「ｎ≧５　に対して、２^ｎ＞ｎ² 」が成り立つことを、数学的帰納法により示す。

　ｎ＝５　のとき、　２⁵＝３２　、５²＝２５　より、２⁵＞５²　なので、ｎ＝５のとき命題は成立。

　ｎ＝ｋ（ｋ≧５）　のとき、命題が成り立つと仮定する。すなわち、　２^ｋ＞ｋ²

　このとき、　ｋ≧２ｌｏｇ₂ ｋ　なので、（１）より、　ｋ＋１＞２ｌｏｇ₂ （ｋ＋１）

　すなわち、　２^k+1＞（ｋ＋１）²　となるので、命題は、ｎ＝ｋ＋１　のときも成立する。

　以上から、ｎ≧５　に対して、２^ｎ＞ｎ² 　が成り立つ。

したがって、２^ｎ≦ｎ²　となる正の整数 ｎ は、ｎ＝２、３、４ である。　　（終）


（コメント）　今まで、「ｎ＞５　ならば、２^ｎ＞ｎ² 」は自明とすることが多かったのですが、きっち
　　　　　　り示すことが出来るんですね！勉強になりました。



　　以下、工事中！