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091 | 令和6年度前期 | 東北大学 | 理系 | ・・・ | 微分積分(数学U) | やや易 |
東北大学 前期理系(2024)
第1問 a を正の実数とし、F(x)=x2−2ax+4a2 とする。Oを原点とする xy平面上の放物
線 C: y=F(x) の頂点をAとする。直線OAとCの交点のうち A と異なるものを P(p,F(p))
とし、OからCへ引いた接線の接点を Q(q,F(q)) とする。ただし、q>0 とする。
(1) p、q の値を a を用いて表せ。また、p>q であることを示せ。
(2) 放物線 C の q≦x≦p の部分、線分OP、および線分OQで囲まれた図形の面積をS
とおく。Sを a を用いて表せ。
(3) (2)のSに対し、S=2/3 となるときの a の値を求めよ。
(解)(1) F(x)=(x−a)2+3a2 より、A(a,3a2) より、直線OAの方程式は、 y=3ax
x2−2ax+4a2=3ax より、 x2−5ax+4a2=0 よって、(x−a)(x−4a)=0 より
x=a、4a したがって、p=4a
y’=2x−2a より、点Qにおける接線の方程式は、
y=(2q−2a)(x−q)+q2−2aq+4a2
原点を通ることから、 q2−4a2=0 より、 q=±2a で、q>0 から、 q=2a
よって、接線OQの方程式は、 y=2ax
このとき、 p−q=2a>0 より、 p>q である。
(2) S=∫02a (ax)dx+∫2a4a (3ax−x2+2ax−4a2)dx
=2a3−∫2a4a (x2−5ax+4a2)dx
=2a3−[x3/3−(5a/2)x2+4a2x]2a4a
=2a3−((56/3)a3−30a3+8a3)=(16/3)a3
(3) (16/3)a3=2/3 より、 a3=1/8 aは実数なので、 a=1/2 (終)
以下、工事中!