０９１	令和６年度前期	東北大学	理系	・・・	微分積分（数学�U）	やや易

東北大学　前期理系（２０２４）

第１問　ａ を正の実数とし、Ｆ(x)＝ｘ²−２ａｘ＋４ａ² とする。Ｏを原点とする ｘｙ平面上の放物
　　線 C： ｙ＝Ｆ(x) の頂点をAとする。直線ＯＡとＣの交点のうち A と異なるものを P(ｐ，Ｆ(ｐ))
　　とし、ＯからCへ引いた接線の接点を Q(ｑ，Ｆ(ｑ)) とする。ただし、ｑ＞０ とする。

（１）　ｐ、ｑ の値を ａ を用いて表せ。また、ｐ＞ｑ であることを示せ。
（２）　放物線 C の ｑ≦ｘ≦ｐ の部分、線分ＯＰ、および線分ＯＱで囲まれた図形の面積をＳ
　　とおく。Ｓを ａ を用いて表せ。
（３）　（２）のＳに対し、Ｓ＝２/３ となるときの ａ の値を求めよ。

　　

（解）（１）　Ｆ(x)＝（ｘ−ａ）²＋３ａ² より、Ａ（ａ，３ａ²）　より、直線ＯＡの方程式は、　ｙ＝３ａｘ

　ｘ²−２ａｘ＋４ａ²＝３ａｘ　より、　ｘ²−５ａｘ＋４ａ²＝０　　よって、（ｘ−ａ）（ｘ−４ａ）＝０　より

　ｘ＝ａ、４ａ　したがって、ｐ＝４ａ

　ｙ’＝２ｘ−２ａ　より、点Ｑにおける接線の方程式は、

　ｙ＝（２ｑ−２ａ）（ｘ−ｑ）＋ｑ²−２ａｑ＋４ａ²

原点を通ることから、　ｑ²−４ａ²＝０　より、　ｑ＝±２ａ　で、ｑ＞０　から、　ｑ＝２ａ

　よって、接線ＯＱの方程式は、　ｙ＝２ａｘ

このとき、　ｐ−ｑ＝２ａ＞０　より、　ｐ＞ｑ　である。

（２）　Ｓ＝∫₀^2a （ａｘ）ｄｘ＋∫_2a^4a （３ａｘ−ｘ²＋２ａｘ−４ａ²）ｄｘ

　＝２ａ³−∫_2a^4a （ｘ²−５ａｘ＋４ａ²）ｄｘ

　＝２ａ³−[ｘ³/３−（５ａ/２）ｘ²＋４ａ²ｘ]_2a^4a

　＝２ａ³−（（５６/３）ａ³−３０ａ³＋８ａ³）＝（１６/３）ａ³

（３）　（１６/３）ａ³＝２/３　より、　ａ³＝１/８　　ａは実数なので、　ａ＝１/２　　（終）



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