０９０	令和６年度前期	北海道大学	理系	・・・	微分積分（数学�V）	標準

北海道大学　前期理系（２０２４）

第５問　関数 Ｆ（ｘ）＝x log（ｘ＋２）＋１　（ｘ＞−２）　を考える。ｙ＝Ｆ（ｘ） で表される曲線をC
　　とする。Cの接線のうち傾きが正で原点を通るものをＬとする。ただし、log t は t の自然
　　対数である。

（１）　直線Ｌの方程式を求めよ。
（２）　曲線Cは下に凸であることを証明せよ。
（３）　CとＬおよび ｙ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

（解）（１）　ｙ’＝log（ｘ＋２）＋ｘ/（ｘ＋２）　なので、接点（ｔ，ｔ log（ｔ＋２）＋１）における接線の

方程式は、　ｙ＝（log（ｔ＋２）＋ｔ/（ｔ＋２））（ｘ−ｔ）＋ｔ log（ｔ＋２）＋１

原点（０，０）を通るので、　−ｔ（log（ｔ＋２）＋ｔ/（ｔ＋２））＋ｔ log（ｔ＋２）＋１＝０

すなわち、　−ｔ²/（ｔ＋２）＋１＝０　より、　ｔ²−ｔ−２＝０

　（ｔ−２）（ｔ＋１）＝０　より、　ｔ＝２、−１

ｔ＝２　のとき、ｙ’＝log４＋１/２＞０　で、適する

ｔ＝−１　のとき、ｙ’＝−１＜０　で、不適

　以上から、求める接線の方程式は、　ｙ＝（log４＋１/２）ｘ

（２）　ｙ”＝１/（ｘ＋２）＋（ｘ＋２−ｘ）/（ｘ＋２）²＝１/（ｘ＋２）＋２/（ｘ＋２）²

　ｘ＞−２　のとき、　ｙ”＞０　なので、曲線Cは下に凸である。

（３）　
　　

Ｓ＝∫₀² （x log（ｘ＋２）＋１−（log４＋１/２）ｘ）ｄｘ

　＝[ｘ²/２・log（ｘ＋２）]₀²−（１/２）∫₀² ｘ²/（ｘ＋２）ｄｘ＋[ｘ]₀²−（log４＋１/２）[ｘ²/２]₀²

　＝２log ４ −（１/２）∫₀² ｘ²/（ｘ＋２）ｄｘ＋２−２（log４＋１/２）

　＝１−（１/２）∫₀² ｘ²/（ｘ＋２）ｄｘ

　ｘ＋２＝ｔ　とおくと、　ｄｘ＝ｄｔ　なので、

　∫₀² ｘ²/（ｘ＋２）ｄｘ＝∫₂⁴ (ｔ−２)²/ｔ ｄｔ

＝∫₂⁴ (ｔ−４＋４/ｔ） ｄｔ＝[（ｔ−４）²/２＋４log ｔ]₂⁴＝４log ４−２−４log ２＝４log ２−２

　以上から、　Ｓ＝１−（１/２）（４log ２−２）＝２−２log ２　　（終）



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