０８８	令和６年度前期	北海道大学	理系	・・・	数列・積分（数Ｂ・�U）	標準

北海道大学　前期理系（２０２４）

第３問　次の問に答えよ。

（１）　αを実数とする。次のように定められた数列｛ａ_ｎ｝の一般項を求めよ。

　　ａ₁＝α　、ａ_n+1＝（１/２）ａ_ｎ＋１　　（ｎ＝１、２、３、・・・）

（２）　関数 Ｆ₁（ｘ）、Ｆ₂（ｘ）、Ｆ₃（ｘ）、・・・　を次の関係式で定める。

　　Ｆ₁（ｘ）＝３ｘ　、Ｆ_n+1（ｘ）＝（ｎ＋２）ｘⁿ⁺¹＋（∫₀¹ Ｆ_n（ｔ）ｄｔ）ｘ　　（ｎ＝１、２、３、・・・）

　関数 Ｆ_n（ｘ） を ｘ と ｎ の式で表せ。

（解）（１）　ａ_n+1−２＝（１/２）（ａ_ｎ−２）　から、

　ａ_ｎ−２＝（ａ₁−２）（１/２）^n-1＝（α−２）（１/２）^n-1　より、　ａ_ｎ＝（α−２）（１/２）^n-1＋２

（２）　∫₀¹ Ｆ_n（ｔ）ｄｔ＝ａ_ｎ　とおくと、　Ｆ_n+1（ｘ）＝（ｎ＋２）ｘⁿ⁺¹＋ａ_ｎｘ　より、

　ａ_n+1＝∫₀¹ Ｆ_n+1（ｔ）ｄｔ＝（ｎ＋２）∫₀¹ ｔⁿ⁺¹ｄｔ＋ａ_ｎ∫₀¹ ｔｄｔ＝１＋（１/２）ａ_ｎ

　ここで、　ａ₁＝∫₀¹ ３ｔｄｔ＝３/２　なので、（１）より、

　ａ_ｎ＝（−１/２）（１/２）^n-1＋２＝２−（１/２）ⁿ　である。

　よって、　ｎ≧２ のとき、　Ｆ_n（ｘ）＝（ｎ＋１）ｘⁿ＋ａ_ｎ-1ｘ＝（ｎ＋１）ｘⁿ＋（２−（１/２）^n-1）ｘ

この式で、ｎ＝１とすると、右辺＝２ｘ＋ｘ＝３ｘ　なので、上式は、ｎ＝１のときも成り立つ。

　以上から、　Ｆ_n（ｘ）＝（ｎ＋１）ｘⁿ＋（２−（１/２）^n-1）ｘ　　（ｎ＝１、２、３、・・・）


（コメント）　最後の「ｎ≧２ のとき」は、うっかりすると省いてしまうところかな？



　　以下、工事中！