０８７	令和６年度後期	東北大学	理系	・・・	整数（数学Ａ）	やや難

東北大学　後期理系（２０２４）

第４問　次の問いに答えよ。

（１）　２以上の整数ｎに対し、(ｎ−１)ｎ(ｎ＋１)は６の倍数であることを示せ。

（２）　条件(*) (ｐ−１)ｐ(ｐ＋１)−１５ｐ²ｑ−５ｑ＋１３５００＝０　を満たす素数ｐ、ｑの組(ｐ，ｑ)
　　をすべて求めよ。

＃よおすけさんから問題を提供していただきました。（令和６年３月３０日付け）

（解）（１）　(ｎ−１)ｎ(ｎ＋１)は、２の倍数　かつ　３の倍数なので、６の倍数である。

（２）　（１）より、(ｐ−１)ｐ(ｐ＋１)は６の倍数で、１３５００も６の倍数なので、１５ｐ²ｑ＋５ｑ は

　６の倍数となる。１５ｐ²ｑ＋５ｑ＝５ｑ（３ｐ²＋１）において、５と６は互いに素なので、

　ｑ（３ｐ²＋１） は６の倍数となる。

　３ｐ²＋１ は３の倍数でないので、ｑ≠２ であり、ｑは、３の倍数となることから、ｑ＝３である。

　また、ｐ＝２ とすると、ｑ（３ｐ²＋１）＝１３ｑ が６の倍数であることから、ｑは偶数となり、奇

数であることに矛盾するので、ｐも３以上の奇素数となる。

　以上から、３ｐ²＋１ は、偶数でなければならない。

　ｑ＝３なので、元の式に代入して整理すると、　ｐ³−４５ｐ²−ｐ＋１３４８５＝０

　ｐ＝３とすると、３ｐ²＋１＝２８は偶数であるが、元の式に代入して、

　２７−４０５−３＋１３５００≠０　なので、ｐ＝３は不適

　よって、ｐは５以上の奇素数である。

　このとき、ｐ＝６ｎ＋１　または　６ｎ−１　（ｎは自然数）　と書ける。

ｐ＝６ｎ＋１　のとき、ｐ³−４５ｐ²−ｐ＋１３４８５＝０　に代入して、

　２１６ｎ³＋１０８ｎ²＋１８ｎ＋１−４５（３６ｎ²＋１２ｎ＋１）−（６ｎ＋１）＋１３４８５＝０

すなわち、　２１６ｎ³−１５１２ｎ²−５２８ｎ＋１３４４０＝０　より、両辺を２４で割って、

　９ｎ³−６３ｎ²−２２ｎ＋５６０＝０

ここで、　９（ｎ³−７ｎ²＋６０）＝２２ｎ−２０　から、２２ｎ−２０は９の倍数がわかる。

そこで、ｎ＝５として、組立除法により、　（ｎ−５）（９ｎ²−１８ｎ−１１２）＝０

　９ｎ²−１８ｎ−１１２＝０　の判別式をＤとおくと、Ｄ/４＝８１＋１００８＝１０８９＝３３²

　ｎ＝（９±３３）/９＝１４/３、−８/３　で自然数ではないので不適

　したがって、ｎ＝５　となり、このとき、ｐ＝３１　である。

ｐ＝６ｎ−１　のとき、ｐ³−４５ｐ²−ｐ＋１３４８５＝０　に代入して、

　２１６ｎ³−１０８ｎ²＋１８ｎ−１−４５（３６ｎ²−１２ｎ＋１）−（６ｎ−１）＋１３４８５＝０

すなわち、　２１６ｎ³−１７２８ｎ²＋５５２ｎ＋１３４４０＝０　より、両辺を２４で割って、

　９ｎ³−７２ｎ²＋２３ｎ＋５６０＝０

ここで、　９（ｎ³−８ｎ²＋６０）＝−２３ｎ−２０　から、−２３ｎ−２０は９の倍数がわかる。

そこで、ｎ＝５として、組立除法により、　（ｎ−５）（９ｎ²−２７ｎ−１１２）＝０

　９ｎ²−２７ｎ−１１２＝０　の判別式をＤとおくと、Ｄ＝７２９＋４０３２＝４７６１＝６９²

　ｎ＝（２７±６９）/１８＝１６/３、−７/３　で自然数ではないので不適

　したがって、ｎ＝５　となり、このとき、ｐ＝２９　である。

以上から、求める素数ｐ、ｑの組(ｐ，ｑ)は、　(２９，３)　、(３１，３)


（コメント）　計算が半端ないですね！試験時間内に解ける自信がありません。



　　以下、工事中！