０８６	令和６年度前期	北海道大学	理系	・・・	確率（数学Ａ）	標準

北海道大学　前期理系（２０２４）

第２問　各面に１つずつ数が書かれた正八面体のさいころがある。「１」、「２」、「３」が書か
　　れた面がそれぞれ１つずつあり、残りの５つの面には「０」が書かれている。このさいころ
　　を水平な床面に投げて、出た面に書かれた数を持ち点に加えるという試行を考える。

　最初の持ち点は０とし、この試行を繰り返す。なお、さいころが水平な床面にあるとき、さい
ころの上部の水平な面を出た面とよぶ。また、さいころを投げるとき、各面が出ることは同様
に確からしいとする。

（１）　この試行をｎ回行ったとき、持ち点が２以下である確率を求めよ。ただし、ｎは２以上の
　　自然数とする。

（２）　この試行を４回行って持ち点が１０以上であったときに、さらにこの試行を２回行って持
　　ち点が１７以上である条件付き確率を求めよ。

（解）（１）　正八面体のさいころを１回投げて、「０」が出る確率は、５/８

　「１」、「２」、「３」の何れかが出る確率は、それぞれ　１/８　である。

持ち点が２以下なので、可能性は、持ち点が　０、１、２　の何れか。

　持ち点０のとき、ｎ回すべてが「０」なので、確率は、（５/８）^ｎ

　持ち点１のとき、ｎ回中１回「１」で残りのｎ−１回すべてが「０」なので、

　反復試行の確率より、確率は、_ｎＣ₁（１/８）（５/８）^ｎ-1＝（ｎ/８）（５/８）^ｎ-1

　持ち点２のとき、ｎ回中１回「２」で残りのｎ−１回すべてが「０」

　　または、ｎ回中２回「１」で残りのｎ−２回すべてが「０」なので、

　反復試行の確率より、確率は、

　_ｎＣ₁（１/８）（５/８）^ｎ-1＋_ｎＣ₂（１/８）²（５/８）^ｎ-2＝（（ｎ²＋９ｎ）/１２８）（５/８）^ｎ-2

以上から、求める確率は、

　（５/８）^ｎ＋（ｎ/８）（５/８）^ｎ-1＋（（ｎ²＋９ｎ）/１２８）（５/８）^ｎ-2

＝（（ｎ²＋１９ｎ＋５０）/１２８）（５/８）^ｎ-2

（２）　４回試行を行って持ち点が１０以上のとき、可能性は、１０、１１、１２　の何れか。

　持ち点１０のとき、面の出方は、「３」「３」「３」「１」　または　「３」「３」「２」「２」

　　よって、確率は、₄Ｃ₁（１/８）⁴＋₄Ｃ₂（１/８）⁴＝１０（１/８）⁴

　持ち点１１のとき、面の出方は、「３」「３」「３」「２」

　　よって、確率は、₄Ｃ₁（１/８）⁴＝４（１/８）⁴

　持ち点１２のとき、面の出方は、「３」「３」「３」「３」

　　よって、確率は、₄Ｃ₀（１/８）⁴＝（１/８）⁴

　以上から、持ち点が１０以上の確率は、　１５（１/８）⁴

　さらに、試行を２回行って、持ち点が１７以上になるのは、

　４回試行の持ち点１１で、２回試行の面の出方が、「３」「３」のときなので、

　　確率は、４（１/８）⁴・（１/８）²＝４（１/８）⁶

　４回試行の持ち点１２で、２回試行の面の出方が、「３」「３」　、「３」「２」　のときなので、

　　確率は、（１/８）⁴・（１/８）²＋（１/８）⁴・２（１/８）²＝３（１/８）⁶

　以上から、４回の試行で持ち点が１０以上であったときに、さらにこの試行を２回行って持ち

点が１７以上である確率は、　７（１/８）⁶

　したがって、求める条件付き確率は、

　　７（１/８）⁶÷１５（１/８）⁴＝７（１/８）²÷１５＝７/９６０　　（終）



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