０８５	令和６年度前期	北海道大学	理系	・・・	図形と式（数学�U）	やや易

北海道大学　前期理系（２０２４）

第１問　ｔ を実数とし、ｘｙ平面上の点P(cos２ｔ，cos t) および 点Q(sin t，sin２ｔ) を考える。

（１）　点Pと点Qが一致するような ｔ の値をすべて求めよ。
（２）　ｔ が ０＜ｔ＜２π の範囲で変化するとき、点Pの軌跡を ｘｙ 平面上に図示せよ。
　　ただし、ｘ 軸、ｙ 軸との共有点がある場合は、それらの座標を求め、図中に記せ。

（解）（１）　題意より、　cos２ｔ＝sin t　、cos t＝sin２ｔ

　cos t＝sin２ｔ　より、　cos t＝２sin ｔ cos t なので、　cos t＝０　または、　sin ｔ＝１/２

　cos t＝０　のとき、　cos２ｔ＝sin t　より、　２cos² t−１＝sin t　から、sin t＝−１

　　　このとき、ｔ＝３π/２＋２ｎπ　（ｎは任意の整数）

　sin ｔ＝１/２　のとき、　cos２ｔ＝sin t　より、　２cos² t−１＝１/２　から、cos t＝±/２

　　　このとき、ｔ＝π/６＋２ｎπ　、５π/６＋２ｎπ　（ｎは任意の整数）

（２）　ｘ＝cos２ｔ＝２cos² t−１　、ｙ＝cos t　とおくと、　ｘ＝２ｙ²−１

　ここで、０＜ｔ＜２π より、−１≦ｙ＜１　なので、下図を得る。

　　　　（終）



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