０８４	令和６年度前期	東京大学	理系	・・・	立体の体積（数学�V）	標準

東京大学　前期理系（２０２４）

第５問　座標空間内に３点A (１，０，０)、B(０，１，０)、C(０，０，１) をとり、Dを線分ACの中
　　点とする。△ABDの周および内部を ｘ 軸のまわりに１回転させて得られる立体の体積を
　　求めよ。

＃題意より、下図を得る。

　　

　計算の際の注意すべき点は、回転体を平面 ｘ＝ｔ で切断したとき、回転する線分ＱＲ上に
点Ｐから下ろした垂線の足Ｈがあるかどうかでしょう。

　ＨがＱＲ上になければ、切断面は、半径ＰＲ、ＰＱの円環面
　Ｈ’がＱ’Ｒ’上にあれば、切断面は、半径ＰＲ’、ＰＨ’の円環面

になる。この点に注意して、次の解答を得る。

（解）　題意より、Ｄ（１/２，０，１/２）　なので、直線ＢＤの方程式は、　ｘ＝（１−ｙ）/２＝ｚ

　Ｐ（ｔ，０，０）とすると、点Ｑ（ｔ，１−２ｔ，ｔ）　である。直線ＡＢの方程式は、　ｘ＋ｙ＝１，ｚ＝０

なので、Ｒ（ｔ，１−ｔ，０）　となる。

Ｈは、２点（ｔ，１−ｔ，０）、（ｔ，０，１−ｔ）を結ぶ線分の中点なので、Ｈ（ｔ，（１−ｔ）/２，（１−ｔ）/２）

　（１−ｔ）/２＜１−２ｔ　を解いて、　ｔ＜１/３

よって、０≦ｔ＜１/３　のとき、Ｈは線分ＱＲ上になく、１/３≦ｔ≦１　のとき、Ｈ’は線分Ｑ’Ｒ’

上にある。

０≦ｔ＜１/３　のとき、π（ＰＲ²−ＰＱ²）＝π（（１−ｔ）²−（１−２ｔ）²−ｔ²）＝π（−４ｔ²＋２ｔ）

１/３≦ｔ≦１　のとき、π（ＰＲ’²−ＰＨ’²）＝π（（１−ｔ）²−（１−ｔ）²/２）＝（π/２）（１−ｔ）²

よって、求める体積Ｖは、

　　（終）


（コメント）　非常に素朴な回転体の体積問題でした！計算結果も美しいです。



　　以下、工事中！