０８２	令和６年度前期	東京大学	理系	・・・	確率・数列（数学Ａ・Ｂ）	標準

東京大学　前期理系（２０２４）

第３問　座標平面上を次の規則（�@）、（�A）に従って１秒ごとに動く点Pを考える。

（�@）　最初に、Pは点(２，１)にいる。
（�A）　ある時刻でPが点(ａ，ｂ)にいるとき、その１秒後にはPは
　・確率１/３で ｘ 軸に関して(ａ，ｂ)と対称な点
　・確率１/３で ｙ 軸に関して(ａ，ｂ)と対称な点
　・確率１/６で直線 ｙ＝ｘ に関して(ａ，ｂ)と対称な点
　・確率１/６で直線 ｙ＝−ｘ に関して(ａ，ｂ)と対称な点
にいる。

　以下の問いに答えよ。ただし、（１）については、結論のみを書けぱよい。

（１）　Pがとりうる点の座標をすべて求めよ。
（２）　ｎを正の整数とする。最初からｎ秒後にPが点(２，１)にいる確率と、最初からｎ秒後に
　　Pが点(−２，−１)にいる確率は等しいことを示せ。
（３）　ｎを正の整数とする。最初からｎ秒後にPが点(２，１)にいる確率を求めよ。


＃動点Ｐが点(２，１)にいるときの移動の状況を図示してみた。

　　

（解）　下図より、Pがとりうる点の座標は、

(２，１)、(１，２)、(−１，２)、(−２，１)、(−２，−１)、(−１，−２)、(１，−２)、(２，−１)　の８点

　　

（２）　Ｐの移動状況を精査すると、Ｐの１秒後にいるのは、｛Ｂ₁，Ｂ₂，Ｂ₃，Ｂ₄}の何れかで、

さらにその１秒後にいるのは、｛Ａ₁，Ａ₂，Ａ₃，Ａ₄}の何れかで、以後、｛Ｂ₁，Ｂ₂，Ｂ₃，Ｂ₄}、

｛Ａ₁，Ａ₂，Ａ₃，Ａ₄}にＰがいる状況が交互に現れる。

　　

　最初からｎ秒後にPが点(２，１)にいるためには、

　ｎ−１秒後に、Ｂ₂、Ｂ₄から確率１/３でＡ₁に移り、Ｂ₁、Ｂ₃から確率１/６でＡ₁に移る

　最初からｎ秒後にPが点(−２，−１)にいるためには、

　ｎ−１秒後に、Ｂ₂、Ｂ₄から確率１/３でＡ₁に移り、Ｂ₁、Ｂ₃から確率１/６でＡ₃に移る

よって、最初からｎ秒後にPが点(２，１)にいる確率と、最初からｎ秒後にPが点(−２，−１)に

いる確率は等しい。

（３）　最初からｎ秒後に、Ａ₁，Ａ₃にいる確率をａ_ｎ　、Ｂ₁、Ｂ₃にいる確率をｂ_ｎ

　Ａ₂，Ａ₄にいる確率をｃ_ｎ　、Ｂ₂，Ｂ₄にいる確率をｄ_ｎ

とおくと、　ａ_ｎ+1＝（１/３）ｂ_ｎ＋（２/３）ｄ_ｎ　、ｂ_ｎ+1＝（１/３）ａ_ｎ＋（２/３）ｃ_ｎ

　ｃ_ｎ+1＝（１/３）ｄ_ｎ＋（２/３）ｂ_ｎ　、ｄ_ｎ+1＝（１/３）ｃ_ｎ＋（２/３）ａ_ｎ

ただし、初期条件は、　ａ₀＝１　、ｂ₀＝０　、ｃ₀＝０　、ｄ₀＝０　なので、

　ａ₁＝０　、ｂ₁＝１/３　、ｃ₁＝０　、ｄ₁＝２/３

このとき、　ａ_ｎ+1＋ｃ_ｎ+1＝ｂ_ｎ＋ｄ_ｎ　、ｂ_ｎ+1＋ｄ_ｎ+1＝ａ_ｎ＋ｃ_ｎ　から、

　ａ_ｎ+1＋ｃ_ｎ+1＝ａ_ｎ-1＋ｃ_ｎ-1　なので、　ａ_ｎ＋ｃ_ｎ＝ａ_ｎ-2＋ｃ_ｎ-2＝・・・

よって、

　ｎが偶数のとき、　ａ_ｎ＋ｃ_ｎ＝ａ₀＋ｃ₀＝１　、ｎが奇数のとき、　ａ_ｎ＋ｃ_ｎ＝ａ₁＋ｃ₁＝０

同様にして、　ａ_ｎ+1−ｃ_ｎ+1＝−（１/３）（ｂ_ｎ−ｄ_ｎ）　、ｂ_ｎ+1−ｄ_ｎ+1＝−（１/３）（ａ_ｎ−ｃ_ｎ）

から、　ａ_ｎ+1−ｃ_ｎ+1＝（１/９）（ａ_ｎ-1−ｃ_ｎ-1）　なので、　ａ_ｎ−ｃ_ｎ＝（１/９）（ａ_ｎ-2−ｃ_ｎ-2）

よって、

　ｎが偶数のとき、ａ_ｎ−ｃ_ｎ＝（１/３）^ｎ（ａ₀−ｃ₀）＝（１/３）^ｎ　、ｎが奇数のとき、　ａ_ｎ−ｃ_ｎ＝０

以上から、ｎが偶数のとき、　ａ_ｎ＝（１＋（１/３）^ｎ）/２　、ｎが奇数のとき、　ａ_ｎ＝０　なので、

求める確率は、（２）より、

ｎが偶数のとき、　（１/２）ａ_ｎ＝（１＋（１/３）^ｎ）/４　、ｎが奇数のとき、　（１/２）ａ_ｎ＝０　　（終）


（コメント）　確率と漸化式、十分楽しめました！



　　以下、工事中！