０８１	令和６年度後期	北海道大学	理系	・・・	回転体の体積（数学�V）	標準

北海道大学　後期理系（２０２４）

第４問　０＜ｔ＜１ とし、ｙ＝ｓｉｎ ｘ （０≦ｘ≦ｔ） で定まる曲線をCとする。点P(ｔ，ｓｉｎ ｔ) を通り
　　ｙ軸と平行な直線をＬ₁、Pを通り ｘ 軸と平行な直線をＬ₂ とする。
　　Ｌ₁、x 軸、Cで囲まれる図形が ｘ 軸の周りに１回転してできる立体の体積を V(ｔ) とする。
　　Ｌ₂、ｙ 軸、Cで囲まれる図形が ｙ 軸の周りに１回転してできる立体の体積を W(ｔ) とする。
　　　このとき、次の問に答えよ。ただし、必要ならば、
　　ｌｉｍ_t→0 （ｃｏｓ ｔ /ｔ²−ｓｉｎ ｔ /ｔ³）＝−１/３　を用いてもよい。

（１）　V(ｔ) を求めよ。
（２）　W(t) を求めよ。
（３）　極限　ｌｉｍ_t→+0 W(t)/（πｔ²ｓｉｎ ｔ） を求めよ。

　　

＃当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんから問題をご提供いただきました。
　（令和６年３月２４日付け）

（解）（１）　題意より、

　

（２）　題意より、

　

　部分積分を計算して、

　

（３）　ｔ → ＋０　のとき、ｓｉｎ ｔ /ｔ → １　に注意して、

　　　（終）


（コメント）　典型的な回転体の体積計算でした。

ヒントの　ｌｉｍ_t→0 （ｃｏｓ ｔ /ｔ²−ｓｉｎ ｔ /ｔ³）＝−１/３　は、ロピタルの定理から明らかでしょう。



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