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080 | 令和6年度前期 | 東京大学 | 理系 | ・・・ | 微分積分(数学V) | 標準 |
東京大学 前期理系(2024)
第2問 次の関数F(x)を考える。 F(x)=∫01|t−x|/(1+t2) dt (0≦x≦1)
(1) 0<α<π/4 を満たす実数αで、F’(tanα)=0 となるものを求めよ。
(2) (1)で求めたαに対し、tanα の値を求めよ。
(3) 関数F(x)の区間0≦x≦1における最大値と最小値を求めよ。
必要ならば、0.69<log2<0.7 であることを用いてよい。
(解)(1) 0≦x≦1 において、
F(x)=∫0x(x−t)/(1+t2) dt+∫x1(t−x)/(1+t2) dt
=x∫0x 1/(1+t2) dt−∫0x t/(1+t2) dt+∫x1 t/(1+t2) dt−x∫x1 1/(1+t2) dt
=x(∫0x 1/(1+t2) dt+∫1x 1/(1+t2) dt)−∫0x t/(1+t2) dt−∫1x t/(1+t2) dt
よって、
F’(x)=∫0x 1/(1+t2) dt+∫1x 1/(1+t2) dt+x(1/(1+x2)+1/(1+x2))
−x/(1+x2)−x/(1+x2)
=∫0x 1/(1+t2) dt+∫1x 1/(1+t2) dt
t=tanθ とおくと、 dt/(1+t2)=dθ なので、x=tanα とおくと、
F’(x)=[θ]0α+[θ]π/4α=2α−π/4
よって、 F’(tanα)=2α−π/4=0 より、 α=π/8
(2) tan2α=2tanα/(1−tan2α)=1 より、 tan2α+2tanα−1=0
よって、 tanα=−1±
0<α<π/4 なので、 tanα=−1+
(3) F’(x)=∫0x 1/(1+t2) dt+∫1x 1/(1+t2) dt より、 F”(x)=2/(1+x2)
F”(x)>0 より、F’(x)は単調に増加し、x=−1+ のとき、F’(x)=0 なので、
F(x)は、x=−1+ で、極小かつ最小である。
(1)より、x=tanα とおいて、
F(x)=x(∫0x 1/(1+t2) dt+∫1x 1/(1+t2) dt)−∫0x t/(1+t2) dt−∫1x t/(1+t2) dt
より、
F(tanα)
=tanα(2α−π/4)−(1/2)[log(1+t2)]0tanα−(1/2)[log(1+t2)]1tanα
=−(1/2)log(1+tan2α)−(1/2)log(1+tan2α)+(1/2)log2
=−log(1+tan2α)+(1/2)log2
ここで、 1+tan2α=1+(−1+)2=4−2
なので、
F(tanα)=log{/(4−2
)}=log{(
+1)/2}
よって、最小値は、x=−1+ のとき、 log{(
+1)/2}
また、
F(0)=−∫10 t/(1+t2) dt=∫01 t/(1+t2) dt=(1/2)[log(1+t2)]01=(1/2)log2
F(1)=∫01 1/(1+t2) dt−∫01 t/(1+t2) dt=[θ]0π/4−(1/2)log2=π/4−(1/2)log2
ここで、
F(0)−F(1)=log2−π/4 において、0.69<log2<0.7 であるので、π/4≒0.785 より、
F(0)−F(1)<0 から、F(x)は、x=1 のとき最大で、最大値は、π/4−(1/2)log2 (終)
以下、工事中!