０８０	令和６年度前期	東京大学	理系	・・・	微分積分（数学�V）	標準

東京大学　前期理系（２０２４）

第２問　次の関数Ｆ（ｘ）を考える。　Ｆ（ｘ）＝∫₀¹｜ｔ−ｘ｜/（１＋ｔ²） ｄｔ　（０≦ｘ≦１）

（１）　０＜α＜π/４ を満たす実数αで、Ｆ’(ｔａｎα)＝０ となるものを求めよ。
（２）　（１）で求めたαに対し、ｔａｎα の値を求めよ。
（３）　関数Ｆ（ｘ）の区間０≦ｘ≦１における最大値と最小値を求めよ。
　　必要ならば、0．69＜ｌｏｇ２＜0．7 であることを用いてよい。

（解）（１）　０≦ｘ≦１ において、

　Ｆ（ｘ）＝∫₀^ｘ（ｘ−ｔ）/（１＋ｔ²） ｄｔ＋∫_ｘ¹（ｔ−ｘ）/（１＋ｔ²） ｄｔ

　＝ｘ∫₀^ｘ １/（１＋ｔ²） ｄｔ−∫₀^ｘ ｔ/（１＋ｔ²） ｄｔ＋∫_ｘ¹ ｔ/（１＋ｔ²） ｄｔ−ｘ∫_ｘ¹ １/（１＋ｔ²） ｄｔ

　＝ｘ（∫₀^ｘ １/（１＋ｔ²） ｄｔ＋∫₁^ｘ １/（１＋ｔ²） ｄｔ）−∫₀^ｘ ｔ/（１＋ｔ²） ｄｔ−∫₁^ｘ ｔ/（１＋ｔ²） ｄｔ

よって、

　Ｆ’（ｘ）＝∫₀^ｘ １/（１＋ｔ²） ｄｔ＋∫₁^ｘ １/（１＋ｔ²） ｄｔ＋ｘ（１/（１＋ｘ²）＋１/（１＋ｘ²））

　　−ｘ/（１＋ｘ²）−ｘ/（１＋ｘ²）

　＝∫₀^ｘ １/（１＋ｔ²） ｄｔ＋∫₁^ｘ １/（１＋ｔ²） ｄｔ

　ｔ＝ｔａｎθ　とおくと、　ｄｔ/（１＋ｔ²）＝ｄθ　なので、ｘ＝ｔａｎα　とおくと、

　Ｆ’（ｘ）＝[θ]₀^α＋[θ]_π/4^α＝２α−π/４

よって、　Ｆ’(ｔａｎα)＝２α−π/４＝０　より、　α＝π/８

（２）　ｔａｎ２α＝２ｔａｎα/（１−ｔａｎ²α）＝１　より、　ｔａｎ²α＋２ｔａｎα−１＝０

　よって、　ｔａｎα＝−１±

　０＜α＜π/４ なので、　ｔａｎα＝−１＋

（３）　Ｆ’（ｘ）＝∫₀^ｘ １/（１＋ｔ²） ｄｔ＋∫₁^ｘ １/（１＋ｔ²） ｄｔ　より、　Ｆ”（ｘ）＝２/（１＋ｘ²）

　Ｆ”（ｘ）＞０　より、Ｆ’（ｘ）は単調に増加し、ｘ＝−１＋　のとき、Ｆ’（ｘ）＝０　なので、

　Ｆ（ｘ）は、ｘ＝−１＋　で、極小かつ最小である。

（１）より、ｘ＝ｔａｎα　とおいて、

Ｆ（ｘ）＝ｘ（∫₀^ｘ １/（１＋ｔ²） ｄｔ＋∫₁^ｘ １/（１＋ｔ²） ｄｔ）−∫₀^ｘ ｔ/（１＋ｔ²） ｄｔ−∫₁^ｘ ｔ/（１＋ｔ²） ｄｔ

より、

Ｆ（ｔａｎα）

＝ｔａｎα（２α−π/４）−（１/２）[ｌｏｇ（１＋ｔ²）]₀^ｔａｎα−（１/２）[ｌｏｇ（１＋ｔ²）]₁^ｔａｎα

＝−（１/２）ｌｏｇ（１＋ｔａｎ²α）−（１/２）ｌｏｇ（１＋ｔａｎ²α）＋（１/２）ｌｏｇ２

＝−ｌｏｇ（１＋ｔａｎ²α）＋（１/２）ｌｏｇ２

ここで、　１＋ｔａｎ²α＝１＋（−１＋）²＝４−２　なので、

Ｆ（ｔａｎα）＝ｌｏｇ｛/（４−２）｝＝ｌｏｇ｛（＋１）/２｝

よって、最小値は、ｘ＝−１＋　のとき、　ｌｏｇ｛（＋１）/２｝

　また、

Ｆ（０）＝−∫₁⁰ ｔ/（１＋ｔ²） ｄｔ＝∫₀¹ ｔ/（１＋ｔ²） ｄｔ＝（１/２）[ｌｏｇ（１＋ｔ²）]₀¹＝（１/２）ｌｏｇ２

Ｆ（１）＝∫₀¹ １/（１＋ｔ²） ｄｔ−∫₀¹ ｔ/（１＋ｔ²） ｄｔ＝[θ]₀^π/4−（１/２）ｌｏｇ２＝π/４−（１/２）ｌｏｇ２

ここで、

Ｆ（０）−Ｆ（１）＝ｌｏｇ２−π/４　において、0．69＜ｌｏｇ２＜0．7 であるので、π/４≒０．７８５　より、

　Ｆ（０）−Ｆ（１）＜０　から、Ｆ（ｘ）は、ｘ＝１ のとき最大で、最大値は、π/４−（１/２）ｌｏｇ２　　（終）




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