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| ０７９ | 令和６年度前期 | 東京大学 | 理系 | ・・・ | ２次曲線（数学Ⅲ） | やや易 |
東京大学 前期理系（２０２４）
第１問 座標空間内の点A(０，－１，１)をとる。xy 平面上の点Pが次の条件（ⅰ）、（ⅱ）、（ⅲ）
をすべて満たすとする。
（ⅰ） Pは原点Ｏと異なる。
（ⅱ） ∠ＡＯＰ≧２π/３
（ⅲ） ∠ＯＡＰ≦π/６
このとき、Pがとりうる範囲を xy 平面上に図示せよ。
＃題意を理解するために、上記の条件を満たす点Ｐのいくつかを作画してみた。
∠ＡＯＰ＝３π/４≧２π/３ のもとで、∠ＯＡＰ’＝π/１２≦π/６ となる点Ｐ’
∠ＡＯＰ＝３π/４≧２π/３ のもとで、∠ＯＡＰ”＝π/６ となる点Ｐ”
求める点Ｐは、Ｐ’やＰ”の周辺だろうと推測される。
（解） 題意より、Ｐ（ｘ，ｙ，０）として、
ＯＡ＝（０，－１，１）、ＯＰ＝（ｘ，ｙ，０） とおく。題意より、
ＯＡとＯＰのなす角が２π/３以上なので、 －ｙ/（
√（ｘ2＋ｙ2））≦－１/２
すなわち、 ｙ≧√（ｘ2＋ｙ2） より、 ｙ≧０ かつ ｙ2≧ｘ2
ここで、ｙ2－ｘ2＝（ｙ＋ｘ）（ｙ－ｘ）≧０ より、
（ｙ＋ｘ≧０ かつ ｙ－ｘ≧０） または、 （ｙ＋ｘ≦０ かつ ｙ－ｘ≦０）
以上から、
同様にして、ＡＯ＝（０，１，－１） と ＡＰ＝（ｘ，ｙ＋１，－１） のなす角がπ/６以下なので、
（ｙ＋２）/（√（ｘ2＋（ｙ＋１）2＋１））≧
/２
すなわち、 （ｙ＋２）≧√（ｘ2＋（ｙ＋１）2＋１） より、
ｙ＋２≧０ かつ ２（ｙ＋２）2≧３（ｘ2＋（ｙ＋１）2＋１）
ここで、２（ｙ＋２）2≧３（ｘ2＋（ｙ＋１）2＋１） より、 ３ｘ2＋ｙ2－２ｙ－２≦０ なので、
ｘ2＋（ｙ－１）2/３≦１
以上から、
したがって、求めるＰの範囲は、下図の通りとなる。
ただし、原点（０，０）は除く。
（コメント） ｙ 軸上の点が、冒頭で計算した部分ですね！
以下、工事中！