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| ０７７ | 令和６年度前期 | 京都大学 | 理系 | ・・・ | 対数・極限（数学Ⅱ・Ⅲ） | やや難 |
京都大学 前期理系（２０２４）
第６問 自然数ｋに対して、ａｋ＝２^√ｋ とする。ｎを自然数とし、ａｋの整数部分がｎ桁である
ようなｋの個数をNｎとする。また、ａｋの整数部分がｎ桁であり、その最高位の数字が１で
あるようなｋの個数をＬｎとする。次を求めよ。
limｎ→∞ Ｌｎ/Nｎ
ただし、例えば、実数 2345．678 の整数部分 2345 は４桁で、最高位の数字は、２ である。
＃題意を理解するために、いくつか実験しておこう。
ａ1＝２ → ａ1の整数部分は、２で、１桁の数であるので、N1≧１
ａ1の整数部分が１桁で、その最高位の数字が２なので、ｋ＝１は不適。
ａ2＝２^
＝２．６６・・・ → ａ2の整数部分は、２で、１桁の数であるので、N1≧２
ａ2の整数部分が１桁で、その最高位の数字が２なので、ｋ＝２は不適。
ａ3＝２^
＝３．３２・・・ → ａ3の整数部分は、３で、１桁の数であるので、N1≧３
ａ3の整数部分が１桁で、その最高位の数字が３なので、ｋ＝３は不適。
ａ4＝２^2＝４ → ａ4の整数部分は、４で、１桁の数であるので、N1≧４
ａ4の整数部分が１桁で、その最高位の数字が４なので、ｋ＝４は不適。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ａ11＝２^√１１＝９．９６・・・ → ａ11の整数部分は、９で、１桁の数である。
ａ11の整数部分が１桁で、その最高位の数字が９なので、ｋ＝４は不適。
ａ12＝２^√１２＝１１．０３・・・ → ａ12の整数部分は、１１で、２桁の数である。
ａ12の整数部分が２桁で、その最高位の数字が１なので、Ｌ2≧１
ａ13＝２^
＝１２．１７・・・ → ａ13の整数部分は、１２で、２桁の数である。
ａ13の整数部分が２桁で、その最高位の数字が１なので、Ｌ2≧２
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ａｋの整数部分が１桁であるとき、 ｌｏｇ10 ａｋ ＝（√ｋ）ｌｏｇ10 ２ において、
１≦（√ｋ）ｌｏｇ10 ２＜１ すなわち、 １≦√ｋ＜１/ｌｏｇ10 ２
０．３０１＜ｌｏｇ10 ２＜０．３０２ なので、 ３．３１＜１/ｌｏｇ10 ２＜３．３２
よって、 １≦ｋ≦９ より、 N1＝９ となる。
ａｋの整数部分が１桁であり、その最高位の数字が１であるとき、
１≦ａｋ＜２ なので、 ０≦（√ｋ）ｌｏｇ10 ２＜ｌｏｇ10 ２ より、
１≦√ｋ＜１ なので、 Ｌ1＝０ となる。
（解） ａｋの整数部分がｎ桁であるとき、 ｌｏｇ10 ａｋ ＝（√ｋ）ｌｏｇ10 ２ において、
ｎ－１≦（√ｋ）ｌｏｇ10 ２＜ｎ すなわち、 （ｎ－１）/ｌｏｇ10 ２≦√ｋ＜ｎ/ｌｏｇ10 ２ より、
｛（ｎ－１）/ｌｏｇ10 ２｝2≦ｋ＜｛ｎ/ｌｏｇ10 ２｝2 となる。
このとき、 Nｎ＝［｛ｎ/ｌｏｇ10 ２｝2］－［｛（ｎ－１）/ｌｏｇ10 ２｝2］ （［ ］はガウスの記号）
また、ａｋの整数部分がｎ桁であり、その最高位の数字が１であるとき、
１０n-1≦ａｋ＜２・１０n-1 なので、 ｎ－１≦（√ｋ）ｌｏｇ10 ２＜ｎ－１＋ｌｏｇ10 ２ より、
（ｎ－１）/ｌｏｇ10 ２≦√ｋ＜１＋（ｎ－１）/ｌｏｇ10 ２ なので、
｛（ｎ－１）/ｌｏｇ10 ２｝2≦ｋ＜｛１＋（ｎ－１）/ｌｏｇ10 ２｝2 となる。
このとき、 Ｌｎ＝［｛１＋（ｎ－１）/ｌｏｇ10 ２｝2］－［｛（ｎ－１）/ｌｏｇ10 ２｝2］
ここで、［ ］はガウスの記号より、 ［ｘ］≦ｘ＜［ｘ］＋１ が成り立つので、
Ｌｎ/Nｎ
＜（｛１＋（ｎ－１）/ｌｏｇ10 ２｝2－｛（ｎ－１）/ｌｏｇ10 ２｝2＋１）/（｛ｎ/ｌｏｇ10 ２｝2－１－｛（ｎ－１）/ｌｏｇ10 ２｝2）
＝（２＋２（ｎ－１）/ｌｏｇ10 ２）/（（２ｎ－１）/（ｌｏｇ10 ２）2－１）
＝（２（ｌｏｇ10 ２）2＋２（ｎ－１）ｌｏｇ10 ２）（（２ｎ－１）－（ｌｏｇ10 ２）2）
このとき、 limｎ→∞ Ｌｎ/N≦ｌｏｇ10 ２
同様にして、
Ｌｎ/Nｎ
＞（｛１＋（ｎ－１）/ｌｏｇ10 ２｝2－１－｛（ｎ－１）/ｌｏｇ10 ２｝2）/（｛ｎ/ｌｏｇ10 ２｝2－｛（ｎ－１）/ｌｏｇ10 ２｝2＋１）
＝（２（ｎ－１）/ｌｏｇ10 ２）/（（２ｎ－１）/（ｌｏｇ10 ２）2＋１）
＝２（ｎ－１）（ｌｏｇ10 ２）/（２ｎ－１＋（ｌｏｇ10 ２）2）
このとき、 limｎ→∞ Ｌｎ/N≧ｌｏｇ10 ２
以上から、 limｎ→∞ Ｌｎ/N＝ｌｏｇ10 ２ （終）
以下、工事中！