０７６	令和６年度前期	京都大学	理系	・・・	微分積分（数学�V）	標準

京都大学　前期理系（２０２４）

第５問　ａ は、ａ≧１ を満たす定数とする。座標平面上で、次の４つの不等式が表す領域を
　　Ｄ_a とする。

　ｘ≧０　、（e^x−e^-x）/２≦ｙ　、ｙ≦（e^x＋e^-x）/２　、ｙ≦ａ

　次の問いに答えよ。

（１）　Ｄ_a の面積 Ｓ_a を求めよ。
（２）　lim_a→∞ Ｓ_a を求めよ.

（解）　（e^x＋e^-x）/２＝ａ より、　ｘ＝ｌｏｇ（ａ＋√（ａ²−１））（＝ｂ とおく。）

　（e^x−e^-x）/２＝ａ より、　ｘ＝ｌｏｇ（ａ＋√（ａ²＋１））（＝ｃ とおく。）

このとき、４つの不等式が表す領域 Ｄ_a は、下図の通り。

　　

（１）　求める面積 Ｓ_a は、

　

ここで、　ｅ^ｂ＝ａ＋√（ａ²−１）　、ｅ^-ｂ＝ａ−√（ａ²−１）

　ｅ^ｃ＝ａ＋√（ａ²＋１）　、ｅ^-ｃ＝√（ａ²＋１）−ａ　なので、

Ｓ_a＝ａｃ−√（ａ²＋１）＋１−ａｂ＋√（ａ²−１）

＝１＋ａ（ｌｏｇ（ａ＋√（ａ²＋１））−ｌｏｇ（ａ＋√（ａ²−１）））＋√（ａ²−１）−√（ａ²＋１）

＝１＋ａ・ｌｏｇ｛（ａ＋√（ａ²＋１））/（ａ＋√（ａ²−１））｝＋√（ａ²−１）−√（ａ²＋１）


（２）　（１）より、ａ →∞ のとき、

　（ａ＋√（ａ²＋１））/（ａ＋√（ａ²−１））

＝（１＋√（１＋１/ａ²））/（１＋√（１−１/ａ²）） → １

　√（ａ²−１）−√（ａ²＋１）

＝−２/（√（ａ²−１）＋√（ａ²＋１）） → ０

よって、　Ｓ_a → １＋ａ・ｌｏｇ１＋０＝１　　（終）



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