０７４	令和６年度前期	東京大学	文系	・・・	確率（数学Ａ）	やや難

東京大学　前期文系（２０２４）

第４問　ｎを５以上の奇数とする。平面上の点Ｏを中心とする円をとり、それに内接する
　　正ｎ角形を考える。ｎ個の頂点から異なる４点を同時に選ぶ。ただし、どの４点も等確
　　率で選ばれるものとする。選んだ４点を頂点とする四角形がＯを内部に含む確率ｐ_ｎ
　　を求めよ。

（解）　題意より、ｎ＝２ｍ＋１　（ｍ≧２　の自然数）　とおける。１点を境に左右にｍ個ずつ
　　に分かれる配置となる。

　　

　選んだ４点を頂点とする四角形がＯを内部に含まないとき、最長の長さの線分ＡＤに関して
２点Ｂ、Ｃは点Ｏの反対側にある。頂点Ａを定め、このような四角形ＡＢＣＤは、３点Ｂ、Ｃ、Ｄ
を適宜決めれば、ただ一つに定まる。

　Ａの決め方は、ｎ通りで、その１通りに対して、３点Ｂ、Ｃ、Ｄの決め方は、ｍ≧３として、

　_ｍＣ₃＝ｍ（ｍ−１）（ｍ−２）/６　（通り）　になるので、４点を頂点とする四角形がＯを内部

に含まない場合の数は、　ｎ・_ｍＣ₃＝（２ｍ＋１）ｍ（ｍ−１）（ｍ−２）/６　（通り）

　起こり得る場合の数は、　_ｎＣ₄＝（２ｍ＋１）（２ｍ）（２ｍ−１）（２ｍ−２）/２４　なので、

よって、ｐ_ｎ＝１−（ｍ−２）/（２ｍ−１）＝（ｍ＋１）/（２ｍ−１）＝（ｎ＋１）/（２（ｎ−２））

　ｍ＝２　のとき、明らかに、ｐ₅＝１ であるが、これは、上式で、ｍ＝２としたものである。

　したがって、　５以上の奇数ｎに対して、　ｐ_ｎ＝（ｎ＋１）/（２（ｎ−２））　　（終）



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