０７３	令和６年度前期	東京大学	文系	・・・	微分積分（数学�U）	標準

東京大学　前期文系（２０２４）

第１問　座標平面上で、放物線 Ｃ： ｙ＝ａx²＋ｂx＋ｃ が２点P(cosθ，ｓｉｎθ）、
　　Ｑ(−cosθ，ｓｉｎθ） を通り、点Pと点Qのそれぞれにおいて、円 ｘ²＋ｙ²＝１ と共通の接
　　線を持っている。ただし、０°＜θ＜９０°とする。

（１）　ａ、ｂ、ｃ を ｓ＝ｓｉｎθ を用いて表せ。

（２）　放物線Cと ｘ 軸で囲まれた図形の面積Ａをｓを用いて表せ。

（３）　A≧ を示せ。

（解）（１）　２点Ｐ、Ｑを、ｙ＝ａx²＋ｂx＋ｃ に代入して、

　ａｃｏｓ²θ＋ｂｃｏｓθ＋ｃ＝ｓｉｎθ　、ａｃｏｓ²θ−ｂｃｏｓθ＋ｃ＝ｓｉｎθ

辺々引いて、　２ｂｃｏｓθ＝０

０°＜θ＜９０°より、　ｃｏｓθ≠０　なので、　ｂ＝０

点Ｐにおける接線の傾きは、　２ａｃｏｓθ　なので、　２ａｃｏｓθ・（ｓｉｎθ/ｃｏｓθ）＝−１　より、

　ａ＝−１/（２ｓｉｎθ）＝−１/（２ｓ）

このとき、

　ｃ＝ｓｉｎθ＋ｃｏｓ²θ/（２ｓｉｎθ）

　＝（２ｓｉｎ²θ＋ｃｏｓ²θ）/（２ｓｉｎθ）＝（ｓｉｎ²θ＋１）/（２ｓｉｎθ）＝（ｓ²＋１）/（２ｓ）

（２）　０°＜θ＜９０°より、　０＜ｓｉｎθ＜１　なので、　０＜ｓ＜１

このとき、　放物線Ｃは上に凸の放物線で、

　ｙ＝（−１/（２ｓ））x²＋（ｓ²＋１）/（２ｓ）＝０　から、　ｘ＝±√（ｓ²＋１）

　Ａ＝（１/（２ｓ））・（２√（ｓ²＋１））³/６＝２（√（ｓ²＋１））³/（３ｓ）

（３）　Ａ²−３＝４（ｓ²＋１）³/（９ｓ²）−３＝（４（ｓ²＋１）³−２７ｓ²）/（９ｓ²）

ここで、

４（ｓ²＋１）³−２７ｓ²

＝４ｓ⁶＋１２ｓ⁴＋１２ｓ²＋４−２７ｓ²＝４ｓ⁶＋１２ｓ⁴−１５ｓ²＋４＝（ｓ²＋４）（２ｓ²−１）²

なので、　Ａ²−３＝（ｓ²＋４）（２ｓ²−１）²/（９ｓ²）≧０

　したがって、　Ａ≧　が成り立つ。

等号成立は、ｓ＝１/　即ち、θ＝４５°より、Ｐ（１/，１/）、Ｑ（−１/，１/）

で、放物線 Ｃ： ｙ＝（−１/）x²＋３/（２） のときに限る。


（コメント）　手頃な微積分の問題でした！



　　以下、工事中！