０７２	令和６年度前期	東京工業大学	理系	・・・	複素数平面（数学�V）	標準

　東京工業大学は、今年の秋に東京医科歯科大学と統合予定である。
（よおすけさんからのコメント（令和６年３月１４日付け））

東京工業大学　前期理系（２０２４）

第５問　整数の組（ａ，ｂ)に対して、２次式 Ｆ（ｘ）＝ｘ²＋ａｘ＋ｂ を考える。方程式 Ｆ（ｘ）＝０
　　の複素数の範囲のすべての解αに対して、α^ｎ＝１ となる正の整数ｎが存在するような
　　組（ａ，ｂ)をすべて求めよ。


＃問題の意味を理解するために、いくつか実験してみた。

（ａ，ｂ）＝（１，１）　のとき、Ｆ（ｘ）＝ｘ²＋ｘ＋１ となり、方程式 Ｆ（ｘ）＝０ の解αは、

　α＝（−１±ｉ）/２　なので、α³＝１　から、α^ｎ＝１ となる正の整数ｎが存在する。

　よって、（ａ，ｂ）＝（１，１）は、求めるものである。

（ａ，ｂ）＝（−１，１）　のとき、Ｆ（ｘ）＝ｘ²−ｘ＋１ となり、方程式 Ｆ（ｘ）＝０ の解αは、

　α＝（１±ｉ）/２　なので、α³＝−１　から、α⁶＝１　

　よって、この場合も α^ｎ＝１ となる正の整数ｎが存在するので、（ａ，ｂ）＝（−１，１）は、

　求めるものである。


（解）　方程式 Ｆ（ｘ）＝０ の２つの解をα、βとおくと、解と係数の関係から、

　α＋β＝−ａ　、αβ＝ｂ　が成り立つ。

　α^ｎ＝１ となる正の整数ｎが存在するとき、　｜α^ｎ｜＝｜α｜^ｎ＝１　から、｜α｜＝１

なので、｜α｜＝１　、｜β｜＝１　であることが必要条件である。

　α、βがともに実数のとき、

　（α，β）＝（１，１）、（１，−１）、（−１，１）、（−１，−１）

　よって、（ａ，ｂ)＝（−２，１）、（０，−１）、（２，１）

　逆に、（ａ，ｂ)＝（−２，１）のとき、　Ｆ（ｘ）＝ｘ²−２ｘ＋１＝（ｘ−１）²＝０　から、ｘ＝１

　　よって、α^ｎ＝１ となる正の整数ｎ＝１が存在するので、適である。

　（ａ，ｂ)＝（０，−１）のとき、　Ｆ（ｘ）＝ｘ²−１＝０　から、ｘ＝±１

　　よって、α^ｎ＝１ となる正の整数ｎ＝２が存在するので、適である。

　（ａ，ｂ)＝（２，１）のとき、　Ｆ（ｘ）＝ｘ²＋２ｘ＋１＝（ｘ＋１）²＝０　から、ｘ＝−１

　　よって、α^ｎ＝１ となる正の整数ｎ＝２が存在するので、適である。

　α、βがともに虚数のとき、α、βは互いに共役なので、ｂ＝αβ＝｜α｜²＝１

　また、判別式Ｄ＝ａ²−４ｂ＝ａ²−４＜０　で、ａ は整数より、　ａ＝−１、０、１

　よって、（ａ，ｂ)＝（−１，１）、（０，１）、（１，１）

　逆に、（ａ，ｂ)＝（−１，１）のとき、　Ｆ（ｘ）＝ｘ²−ｘ＋１＝０　から、ｘ³＝−１　すなわち、

　ｘ⁶＝１　なので、α^ｎ＝１ となる正の整数ｎ＝６が存在するので、適である。

　（ａ，ｂ)＝（０，１）のとき、　Ｆ（ｘ）＝ｘ²＋１＝０　から、ｘ²＝−１　すなわち、

　ｘ⁴＝１　なので、α^ｎ＝１ となる正の整数ｎ＝４が存在するので、適である。

　（ａ，ｂ)＝（１，１）のとき、　Ｆ（ｘ）＝ｘ²＋ｘ＋１＝０　から、ｘ³＝１　なので、

　α^ｎ＝１ となる正の整数ｎ＝３が存在するので、適である。

以上から、求める整数の組（ａ，ｂ)は、

　（−２，１）、（０，−１）、（２，１）、（−１，１）、（０，１）、（１，１）

の６組である。　　（終）



　　以下、工事中！