０７１	令和６年度前期	東京大学	文系	・・・	三角関数（数学�U）	標準

東京大学　前期文系（２０２４）

第３問　座標平面上に２点Ｏ(０，０)、A(０，１)をとる。ｘ 軸上の２点P(ｐ，０)、Q(ｑ，０)が、次
　　の条件（�@）、（�A）をともに満たすとする。

（�@）　０＜ｐ＜１　かつ　ｐ＜ｑ
（�A）　線分ＡＰの中点をＭとするとき、∠ＯＡＰ＝∠ＰＭＱ

（１）　ｑ を ｐ を用いて表せ。

（２）　ｑ＝１/３ となるｐの値を求めよ。

（３）　△ＯＡＰの面積をS、△ＰＭＱの面積をＴとする。Ｓ＞Ｔ となる ｐ の範囲を求めよ。

（解）　題意より、下図を得る。

　　

（１）　上図より、　ｐ＝ｔａｎθ　は明らか。

　∠ＯＰＡ＝∠ＭＰＨ＝π/２−θ　なので、　∠ＱＰＨ＝π−（π/２−θ）×２＝２θ

　ＭＨ＝１/２　なので、ＰＨ＝（１/２）ｔａｎθ

よって、ＰＱ＝ＰＨ/ｃｏｓ２θ＝（１/２）ｔａｎθ/ｃｏｓ２θ＝ｔａｎθ/（２ｃｏｓ２θ）

ここで、　ｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓ²θ−１＝２/（ｐ²＋１）−１＝（１−ｐ²）/（ｐ²＋１）　なので、

　ｑ−ｐ＝ｐ（ｐ²＋１）/（２（１−ｐ²））　より、　ｑ＝（３ｐ−ｐ³）/（２（１−ｐ²））

（２）　ｑ＝１/３ のとき、　（３ｐ−ｐ³）/（２（１−ｐ²））＝１/３

　すなわち、　３ｐ³−２ｐ²−９ｐ＋２＝０　より、　（ｐ−２）（３ｐ²＋４ｐ−１）＝０

　これを解いて、　ｐ＝２、（−２±）/３

　ここで、０＜ｐ＜１　なので、　ｐ＝（−２＋）/３

（３）　Ｓ＝（１/２）ｔａｎθ

　また、ＭＱ＝ＭＨ＋ＨＱ＝１/２＋（１/２）ｔａｎθｔａｎ２θ　なので、

　Ｔ＝（１/２）・（１/２）ｔａｎθ・（１/２＋（１/２）ｔａｎθｔａｎ２θ）

　＝（１/８）ｔａｎθ（１＋ｔａｎθｔａｎ２θ）

Ｓ＞Ｔ　より、　（１/２）ｔａｎθ＞（１/８）ｔａｎθ（１＋ｔａｎθｔａｎ２θ）

すなわち、　３＞ｔａｎθｔａｎ２θ＝２ｐ²/（１−ｐ²）　から、　５ｐ²＜３

よって、　０＜ｐ＜/５　　（終）


（コメント）　手頃な三角関数の問題ですね。



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