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| ０７０ | 令和６年度前期 | 東京大学 | 文系 | ・・・ | 指数・対数（数学Ⅱ） | 標準 |
東京大学 前期文系（２０２４）
第２問 以下の問いに答えよ。必要ならば、０．３＜ｌｏｇ10２＜０．３１ であることを用いてよい。
（１） ５ｎ＞１０19 となる最小の自然数ｎを求めよ。
（２） ５ｍ＋４ｍ＞１０19 となる最小の自然数ｍを求めよ。
（解）（１） ５ｎ＞１０19 より、 ｎｌｏｇ10５＞１９ すなわち、ｎ（１－ｌｏｇ10２）＞１９
０．３＜ｌｏｇ10２＜０．３１ より、 ０．６９＜１－ｌｏｇ10２＜０．７ なので、
１/０．７＜１/（１－ｌｏｇ10２）＜１/０．６９
よって、 １９/０．７＜１９/（１－ｌｏｇ10２）＜１９/０．６９ より、
ｎ＞１９/（１－ｌｏｇ10２）＞１９/０．７＝２７．１４・・・ なので、
５ｎ＞１０19 となる最小の自然数ｎは、２８
（２） ５ｍ＋４ｍ＞５ｍ＞１０19 より、 ｍ≧２８ ならば、５ｍ＋４ｍ＞１０19 が成り立つ。
ｍ＝２７のとき、 ｌｏｇ10５27＝２７（１－ｌｏｇ10２）＜２７×０．７＝１８．９
ここで、１８．９＝１８＋０．３×３ と考えると、 ｌｏｇ10５27＜１８＋３ｌｏｇ10２ より、
５27＜８・１０18
また、 ｌｏｇ10４27＝２７×２ｌｏｇ10２＜２７×０．６２＝１６．７４＜１７ より、
４27＜１０17
以上から、 ５27＋４27＜８・１０18＋１０17＝８１・１０17＜１０19 なので、
５ｍ＋４ｍ＞１０19 となる最小の自然数ｍは、２８ （終）
以下、工事中！