０６９	令和６年度前期	京都大学	理系	・・・	複素数平面（数学�V）	標準

京都大学　前期理系（２０２４）

第２問　|x|≦２ を満たす複素数 ｘ と、|ｙ−(８＋６ｉ)|＝３ を満たす複素数 ｙ に対して、
　ｚ＝（ｘ＋ｙ）/２ とする。このような複素数 ｚ が複素数平面において動く領域を図示し、そ
　の面積を求めよ。

（解）　|x|≦２ より、ｘ＝ｒｅ^ｉθ　（０≦ｒ≦２）　とおける。

　|ｙ−(８＋６ｉ)|＝３ より、ｙ＝８＋６ｉ＋３ｅ^ｉφ　とおける。

このとき、ｚ＝（ｘ＋ｙ）/２＝４＋３ｉ＋（ｒ/２）ｅ^ｉθ＋（３/２）ｅ^ｉφ　と書ける。

（ｒ/２）ｅ^ｉθ は、原点中心で半径１の円の内部および周を表す。

４＋３ｉ＋（ｒ/２）ｅ^ｉθ は、４＋３ｉ 中心で半径１の円の内部および周を表す。

（３/２）ｅ^ｉφ は、原点中心で半径３/２の周を表す。

したがって、４＋３ｉ＋（ｒ/２）ｅ^ｉθ＋（３/２）ｅ^ｉφ　は、

　４＋３ｉ 中心で半径１の円の内部および周上の点を中心として半径３/２の周を表す。

よって、求める領域は、下図の円環部分（黄色部分）である。

　　

　よって、求める面積は、　π（５/２）²−π（１/２）²＝６π　　（終）



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