068 | 令和6年度前期 | 京都大学 | 文系 | ・・・ | 空間図形(数学I) | 標準 |
京都大学 前期文系(2024)
第1問 四面体OABCが次を満たすとする。
OA=OB=OC=1、∠COA=∠COB=∠ACB、∠AOB=90°
このとき、四面体OABCの体積を求めよ。
(解) 頂点Oから平面ABCに下した垂線の足をHとおく。
題意より、Hは△ABCの外心である。AB= なので、正弦定理より、
2CH=/sin∠ACB すなわち、 CH=1/(sin∠ACB)
∠COA=∠COB=∠ACB=2θ とおくと、 CH=1/(sin2θ)
また、AC=BC=2sinθ で、 sinθ=(1/)/(2sinθ) より、
sin2θ=1/(2)=/4
このとき、 cos2θ=1−/4=(4−)/4 なので、
sin22θ=4sin2θcos2θ=(4−)/4=(2−1)/2
より、 sin2θ=√(2−1) なので、 CH=1/√(2−1)
よって、OH2=1−1/(2−1)=(2−2)/(2−1) なので、
OH=√(2−2)/√(2−1)
ここで、
△ABC=(1/2)AC・BC・sin2θ=2sin2θsin2θ
=(/2)・√(2−1)/=√(2−1)/2
なので、求める四面体OABCの体積は、
√(2−1)/2・√(2−2)/√(2−1)・(1/3)=(1/6)・√(2−2) (終)
(コメント) 数字の汚さに、本番の試験場では自信が持てないですね!
カルピスさんからのコメントです。(令和6年3月13日付け)
「数字の汚さに本番の試験では自信が持てない」とのことですが、私も答えの数字が汚い
と、間違っているのではと、相当不安になります。精神面の強さも試されているよーな。。。
以下、工事中!