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| ０６７ | 令和６年度前期 | 京都大学 | 理系 | ・・・ | 確率・極限（数Ａ・Ⅲ） | 標準 |
京都大学 前期理系（２０２４）
第１問 ｎ個の異なる色を用意する。立方体の各面にいずれかの色を塗る。各面にどの色を
塗るかは同様に確からしいとする。辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確
率 ｐｎ とする。次の問いに答えよ。
（１） ｐ4 を求めよ。
（２） limn→∞ ｐｎ を求めよ。
（解）（１） ｎ＝４ のとき、起こりうる全ての場合の数は、 ４6＝４０９６（通り）
（条件） 辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる
という条件を満たす場合の数を求める。
上図のように、立方体の各面に番号①、②、・・・、⑤、⑥を付ける。
①と②が同色のとき、塗り方は、４通り
そのうちの１通りに対して、③の塗り方は、３通りで、⑤の塗り方は、２通り
そのうちの１通りに対して、（条件）を満たす④、⑥の塗り方を考える。
③と④が同色のとき、 ⑥の塗り方は、２通り
③と④が異なる色のとき、⑥の塗り方は、⑤と同じ色で、１通り
よって、この場合の数は、 ４×３×２×（２＋１）＝７２（通り）
①と②が異なる色のとき、塗り方は、４×３＝１２（通り）
そのうちの１通りに対して、③の塗り方は、２通りで、⑤の塗り方は、１通り
もう使える色はないので、③と④、⑤と⑥は同色となる。
よって、この場合の数は、 １２×２×１＝２４（通り）
以上から、求める場合の数は、 ７２＋２４＝９６（通り） なので、
確率 ｐ4＝９６/４０９６＝３/１２８ （終）
（２） ｎ→∞ なので、ｎ≧６ と仮定してよい。
辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率が ｐｎ なので、
立方体を６色で塗り分ければ、（条件）を必ず満たすので、その方法の数は、
ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）（ｎ－４）（ｎ－５） 通り
なので、 ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）（ｎ－４）（ｎ－５）/ｎ6≦ｐｎ≦１
ここで、 左辺＝（１－１/ｎ）（１－２/ｎ）（１－３/ｎ）（１－４/ｎ）（１－５/ｎ）→１ （ｎ→∞）
なので、 limn→∞ ｐｎ＝１ であることが分かる。 （終）
（追記） 令和６年３月１０日付け
上記では、各面の色塗りに着目して、場合の数を数えたが、使う色数に着目して、場合の
数を数えることも出来る。
（別解） ４色のうち３色用いる場合 ①－②、③－④、⑤－⑥ がそれぞれ同色であれば、
（条件）を満たすので、この場合の数は、 4Ｃ3・３×２×１＝２４（通り）
４色をすべて用いる場合は、①－②、③－④、⑤－⑥ のうち１組は異なる色なので、
この場合の数は、 3Ｃ1・４×３×２×１＝７２（通り）
以上から、（条件）を満たす場合の数は、 ２４＋７２＝９６（通り） なので、
確率は、 ｐ4＝９６/４０９６＝３/１２８ となる。 （終）
この別解の求め方から、（２）の ｐｎ を直接計算することが可能である。
（別解） ｎ色のうち、６色を用いる場合の数は、 ｎＣ6・６！＝ｎＰ6（通り）
ｎ色のうち、５色を用いる場合は、①－②、③－④、⑤－⑥ のうち２組は同色なので、
3Ｃ2・ｎＰ5＝３・ｎＰ5（通り）
ｎ色のうち、４色を用いる場合は、①－②、③－④、⑤－⑥ のうち１組は同色なので、
3Ｃ1・ｎＰ4＝３・ｎＰ4（通り）
ｎ色のうち、３色を用いる場合は、①－②、③－④、⑤－⑥ がそれぞれ同色なので、
nＣ3・３×２×１＝ｎＰ3（通り）
以上から、
ｐｎ＝（ｎＰ6＋３・ｎＰ5＋３・ｎＰ4＋ｎＰ3）/ｎ6
＝ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）（（ｎ－３）（ｎ－４）（ｎ－５）＋３（ｎ－３）（ｎ－４）＋３（ｎ－３）＋１）/ｎ6
＝ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ3－９ｎ2＋２９ｎ－３２）/ｎ6
＝（１－１/ｎ）（１－２/ｎ）（１－９/ｎ＋２９/ｎ2－３２/ｎ3）
なので、 limn→∞ ｐｎ＝１ となる。 （終）
（コメント） 前期文系では、上記の問題（１）を第２問（２）として、「（１） ｐ3 を求めよ。」とい
う類題が出題された。
（解） ３色用いる場合 ①－②、③－④、⑤－⑥ がそれぞれ同色なので、
（条件）を満たす場合の数は、 ３×２×１＝６（通り）
よって、 ｐ3＝６/３6＝２/２４３ （終）
以下、工事中！