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| ０６４ | 令和５年度 | 防衛医科大学 | 医学部 | ・・・ | 種々の問題 | 標準 |
防衛医科大学校の入試問題や模範解答はあまり公開されていない。このページでは、問題
とその解答に取り組み、防衛医科大学校の受験を検討している受験生の一助になれば幸い
である。
防衛医科大学校 医学教育部（２０２３）
Ⅰ． ｘｙ 平面上に２つの放物線 Ｃ1：ｙ＝ｘ2、Ｃ2：ｙ＝ｘ2－ｋ2 （ｋは正の実数） がある。
Ｃ2上の点ＴからＣ1に２本の接線を引き、その接点をＡ、Ｂとする。
（Ａの ｘ 座標は、Bの ｘ 座標より小さいものとする）。
このとき、以下の問いに答えよ。
（１） 線分ＡＢの中点をＭとし、ＴをＣ2上で動かしたときのＭの軌跡の方程式Ｃ3を求めよ。
（２） Ｃ3が ３ｘ2＋２ｘｙ－ｙ2＋２ｘ＋２ｙ≦０ を満たす領域に含まれるような ｋ の値の範囲を
求めよ。
（解）（１） Ａ（α，α2）、Ｂ（β，β2） （α＜β） 、Ｔ（ｔ，ｔ2－ｋ2） とおくと、
点Ａにおける接線の方程式は、ｙ＝２αｘ－α2 なので、 ｔ2－ｋ2＝２αｔ－α2
点Ｂにおける接線の方程式は、ｙ＝２βｘ－β2 なので、 ｔ2－ｋ2＝２βｔ－β2
２式を辺々引いて、 ２（α－β）ｔ－（α－β）（α＋β）＝０
α≠β なので、 α＋β＝２ｔ
２式を辺々足して、 ２（ｔ2－ｋ2）＝２（α＋β）ｔ－（α2＋β2）＝４ｔ2－（α2＋β2）
すなわち、 α2＋β2＝２ｔ2＋２ｋ2
Ｍ（（α＋β）/２，（α2＋β2）/２） において、ｘ＝（α＋β）/２ 、ｙ＝（α2＋β2）/２
とおくと、α＋β＝２ｔ より、 ｘ＝ｔ 、α2＋β2＝２ｔ2＋２ｋ2 より、 ｙ＝ｔ2＋ｋ2
したがって、Ｃ3の方程式は、 ｙ＝ｘ2＋ｋ2
（２） ３ｘ2＋２ｘｙ－ｙ2＋２ｘ＋２ｙ＝（３ｘ－ｙ＋２）（ｘ＋ｙ）≦０ より、下図の領域を得る。
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左図より、題意を満たすためには、Ｃ3が直線 ｙ＝３ｘ＋２ の上方（接する場合も含む） にあればよい。 ｘ2＋ｋ2≧３ｘ＋２ 即ち、ｘ2－３ｘ＋ｋ2－２≧０ 判別式をＤとすると、 Ｄ＝９－４（ｋ2－２）≦０ 即ち、ｋ2≧１７/４ で、Ｋ＞０より、 ｋ≧  /２が求める ｋ の値の範囲である。 （終） |
Ⅱ． ｌｏｇａ ｘ（ｘ－８）＝２ 、ｌｏｇａ （５ｘ－４２）＝１ を同時に満たす実数 ｘ の値を ｘ0 とし、
そのときの ａ の値を ａ0 とおく。このとき、次の問いに答えよ。
（１） ａ0 と ｘ0 の積を求めよ。
（２） ｌｏｇａ ｘ（ｘ－８）＝２ｌｏｇａ （５ｘ－４２） を満たす ｘ をすべて足し合わせた値を求めよ。
（解）（１） 真数条件より、ｘ（ｘ－８）＞０ かつ ５ｘ－４２＞０ から、 ｘ＞４２/５
ｌｏｇａ ｘ（ｘ－８）＝２ｌｏｇａ （５ｘ－４２） なので、 ｘ（ｘ－８）＝（５ｘ－４２）2
展開して整理すると、 ６ｘ2－１０３ｘ＋４４１＝０ より、 （６ｘ－４９）（ｘ－９）＝０
よって、 ｘ＝４９/６ 、９
ここで、ｘ＞４２/５ なので、ｘ＝４９/６ は不適。 よって、ｘ0＝９
このとき、 ｌｏｇａ ３＝１ から、 ａ0＝３ なので、 ａ0・ｘ0＝２７
（２） （１）から、求める値は、９ （終）
Ⅲ． すべての項が有理数である数列 ｛ａｎ｝、｛ｂｎ｝は以下のように定義されるものとする。
（（１＋５
）/１０）ｎ＝ａｎ＋ｂｎ （ｎ＝１，２，３，・・・）
ここで、ａｎ+1、ｂｎ+1 は、それぞれ ａｎ、ｂｎ と有理数Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを用いて、
ａｎ+1＝Ａａｎ＋Ｂｂｎ 、ｂｎ+1＝Ｃａｎ＋Ｄｂｎ
と表すことができる。このとき、次の問いに答えよ。
（１） Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ の値を求めよ。
（２） ｌｉｍｎ→∞Σｉ=1ｎ ａｉ の値を求めよ。
（解）（１） （（１＋５）/１０）ｎ+1
＝（（１＋５）/１０）(ａｎ＋ｂｎ)＝（ａｎ＋１５ｂｎ）/１０＋（５ａｎ＋ｂｎ）/１０
より、ａｎ+1＝（ａｎ＋１５ｂｎ）/１０ 、ｂｎ+1＝（５ａｎ＋ｂｎ）/１０ なので、
Ａ＝１/１０ 、Ｂ＝３/２ 、Ｃ＝１/２ 、Ｄ＝１/１０
よって、 Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝１１/５
（２） ａｎ+1＋ｂｎ+1＝（（１＋５）/１０）（ａｎ＋ｂｎ） より、
ａｎ＋ｂｎ＝（ａ1＋ｂ1）（（１＋５）/１０）n-1
ここで、ａ1＝１/１０ 、ｂ1＝１/２ なので、 ａ1＋ｂ1＝（１＋５）/１０
よって、 ａｎ＋ｂｎ＝（（１＋５）/１０）n
また、ａｎ+1－ｂｎ+1＝（ａｎ＋１５ｂｎ）/１０－（５ａｎ＋ｂｎ）/１０ を整理して、
ａｎ+1－ｂｎ+1＝（（１－５）/１０）（ａｎ－ｂｎ） となる。
よって、 ａｎ－ｂｎ＝（ａ1－ｂ1）（（１－５）/１０）n-1＝（（１－５）/１０）n より、
ａｎ＝（１/２）（（（１＋５）/１０）n＋（（１－５）/１０）n）
無限等比級数 ｌｉｍｎ→∞Σｉ=1ｎ ａｉ において、
公比について、－１＜（１－５）/１０＜（１＋５）/１０＜１ なので、収束する。
よって、ｌｉｍｎ→∞Σｉ=1ｎ ａｉ
＝（１/２）（（１＋５）/１０）/（１－（１＋５）/１０）＋（１/２）（（１－５）/１０）/（１－（１－５）/１０）
＝（１/２）（１＋５）/（９－５）＋（１/２）（１－５）/（９＋５）
＝（（１＋５）（９＋５）＋（１－５）（９－５））/１２
＝１６８/１２＝１４ （終）
Ⅳ． 複素数平面上に異なる３点Ｐ1（ｚ1）、Ｐ2（ｚ2）、Ｐ3（ｚ3）がある。複素数 ｚ1、ｚ2、ｚ3 が
次の条件を満たすとする。
条件１： ｚ12＋ｚ22－ｚ1ｚ2＝０
条件２： ｜ｚ1｜＝
条件３： ｚ3＝ ｚ1＋ｚ2
このとき、次の問いに答えよ。
（１） ｜ｚ2｜の値を求めよ。
（２） △ｚ1ｚ2ｚ3 の面積を求めよ。
（解）（１） ｚ13＋ｚ23＝（ｚ1＋ｚ2）（ｚ12＋ｚ22－ｚ1ｚ2）＝０ より、 ｚ13＝－ｚ23
よって、｜ｚ1｜＝｜ｚ2｜なので、｜ｚ2｜＝
（２） ｚ12＋ｚ22－ｚ1ｚ2＝０ より、（ｚ1/z2）2－ｚ1/ｚ2＋１＝０ を解いて、
ｚ1/ｚ2＝（１±）/２ から、 ∠ｚ2Ｏｚ1＝±π/３ （Ｏは原点）
よって、△Ｏｚ1ｚ2 は一辺の長さがの正三角形となる。
ｚ3＝ ｚ1＋ｚ2 から、四角形Ｏｚ1ｚ3ｚ2は平行四辺形かつひし形となるので、△ｚ1ｚ2ｚ3 は
一辺の長さがの正三角形となる。
よって、 △ｚ1ｚ2ｚ3＝（１/２）2ｓｉｎ（π/３）＝/２ （終）
Ⅴ． 白玉３個、黒玉６個の計９個の玉全てを３つの箱Ａ、Ｂ、Ｃに分けることを考える。分け
方の数え方については同じ色の玉は区別せず、箱は区別するものとする。また、玉が入
らない箱がある場合も分け方として数えるものとする。このとき、次の問いに答えよ。
（１） 分け方の総数を求めよ。
（２） どの箱にも少なくとも１個以上玉が入る分け方の数を求めよ。
（３） どの箱にも白玉が２個以上または黒玉が２個以上入る分け方の数を求めよ。
（解）（１）白３個を３つの箱Ａ、Ｂ、Ｃに分ける方法の数は、
（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝（３，０，０）、（２，１，０）、（２，０，１）、（１，２，０）、（１，１，１）、（１，０，２）、
（０，３，０）、（０，２，１）、（０，１，２）、（０，０，３） の１０通り
このうちの１通りに対して、黒６個を３つの箱Ａ、Ｂ、Ｃに分ける方法の数は、
（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝（６，０，０）、（５，１，０）、（５，０，１）、（４，２，０）、（４，１，１）、（４，０，２）、
（３，３，０）、（３，２，１）、（３，１，２）、（３，０，３）、（２，４，０）、（２，３，１）、（２，２，２）、
（２，１，３）、（２，０，４）、（１，５，０）、（１，４，１）、（１，３，２）、（１，２，３）、（１，１，４）、
（１，０，５）、（０，６，０）、（０，５，１）、（０，４，２）、（０，３，３）、（０，２，４）、（０，１，５）、
（０，０，６） の２８通り
よって、分け方の総数は、 １０×２８＝２８０（通り）
（別解） 白３個を箱Ａに入れる方法は、３、２、１、０ の４通り
それらに対して、残りの玉を箱Ｂ、Ｃに入れる方法の数は、１、２、３、４（通り）の計１０通り
黒６個を箱Ａに入れる方法は、６、５、４、３、２、１、０ の７通り
それらに対して、残りの玉を箱Ｂ、Ｃに入れる方法の数は、
１、２、３、４、５、６、７（通り）の計２８通り
よって、分け方の総数は、 １０×２８＝２８０（通り）
（別解） 3Ｈ3×3Ｈ6＝１０×２８＝２８０（通り）
（２） ２つの箱が空になる場合
白（３，０，０）に対して、黒（６，０，０）
白（０，３，０）に対して、黒（０，６，０）
白（０，０，３）に対して、黒（０，０，６）
１つの箱が空になる場合
白（３，０，０）に対して、黒（５，１，０）、（５，０，１）、（４，２，０）、（４，０，２）、（３，３，０）、
（３，０，３）、（２，４，０）、（２，０，４）、（１，５，０）、（１，０，５）、（０，６，０）、（０，０，６）
白（２，１，０）に対して、黒（６，０，０）、（５，１，０）、（４，２，０）、（３，３，０）、（２，４，０）、（１，５，０）、
（０，６，０）
白（２，０，１）に対して、黒（６，０，０）、（５，０，１）、（４，０，２）、（３，０，３）、（２，０，４）、
（１，０，５）、（０，０，６）
白（１，２，０）に対して、黒（６，０，０）、（５，１，０）、（４，２，０）、（３，３，０）、（２，４，０）、（１，５，０）、
（０，６，０）
白（１，０，２）に対して、黒（６，０，０）、（５，０，１）、（４，０，２）、（３，０，３）、（２，０，４）、
（１，０，５）、（０，０，６）
白（０，３，０）に対して、黒（６，０，０）、（５，１，０）、（４，２，０）、（３，３，０）、（２，４，０）、
（１，５，０）、（０，５，１）、（０，４，２）、（０，３，３）、（０，２，４）、（０，１，５）、（０，０，６）
白（０，２，１）に対して、黒（０，６，０）、（０，５，１）、（０，４，２）、（０，３，３）、（０，２，４）、
（０，１，５）、（０，０，６）
白（０，１，２）に対して、黒（０，６，０）、（０，５，１）、（０，４，２）、（０，３，３）、（０，２，４）、
（０，１，５）、（０，０，６）
白（０，０，３）に対して、黒（６，０，０）、（５，０，１）、（４，０，２）、（３，０，３）、（２，０，４）、
（１，０，５）、（０，６，０）、（０，５，１）、（０，４，２）、（０，３，３）、（０，２，４）、（０，１，５）
よって、３つの箱のうちで何れかが空になる場合の数は、 ３＋７８＝８１（通り）
以上から、どの箱にも少なくとも１個以上玉が入る分け方の数は、
２８０－８１＝１９９（通り）
（別解） 箱Ａが空で、ＢとＣには少なくとも１個以上玉が入る分け方の数は、
2Ｈ3×2Ｈ6－２＝４×７－２＝２６（通り）
箱Ｂが空で、ＡとＣには少なくとも１個以上玉が入る分け方の数は、２６（通り）
箱Ｃが空で、ＡとＢには少なくとも１個以上玉が入る分け方の数は、２６（通り）
箱ＡとＢ、ＢとＣ、ＡとＣが空になる場合は、３通り
したがって、どの箱にも少なくとも１個以上玉が入る分け方の数は、
２８０－２６×３－３＝１９９（通り）
（３） どの箱にも白玉が２個以上または黒玉が２個以上入る分け方は、
白（３，０，０）に対して、黒（２，２，２）、（１，３，２）、（１，２，３）、（０，４，２）、（０，３，３）、
（０，２，４）
白（２，１，０）に対して、黒（２，２，２）、（１，３，２）、（１，２，３）、（０，４，２）、（０，３，３）、
（０，２，４）
白（２，０，１）に対して、黒（２，２，２）、（１，３，２）、（１，２，３）、（０，４，２）、（０，３，３）、
（０，２，４）
白（１，２，０）に対して、黒（４，０，２）、（３，１，２）、（３，０，３）、（２，２，２）、（２，１，３）、
（２，０，４）
白（１，１，１）に対して、黒（２，２，２）
白（１，０，２）に対して、黒（４，２，０）、（３，３，０）、（３，２，１）、（２，４，０）、（２，３，１）、
（２，２，２）
白（０，３，０）に対して、黒（４，０，２）、（３，１，２）、（３，０，３）、（２，２，２）、（２，１，３）、
（２，０，４）
白（０，２，１）に対して、黒（４，０，２）、（３，１，２）、（３，０，３）、（２，２，２）、（２，１，３）、
（２，０，４）
白（０，１，２）に対して、黒（４，２，０）、（３，３，０）、（３，２，１）、（２，４，０）、（２，３，１）、
（２，２，２）
白（０，０，３）に対して、黒（４，２，０）、（３，３，０）、（３，２，１）、（２，４，０）、（２，３，１）、
（２，２，２）
以上から、求める場合の数は、 ９×６＋１＝５５（通り）
（別解） 予め箱Ａに白２個、箱ＢとＣに黒２個ずつを入れておくとき、
残り白１個の入れ方は、３通りで、
その１通りに対して、残り黒２個の入れ方は、3Ｈ2＝６（通り） なので、３×６＝１８（通り）
同様に、予め箱Ｂに白２個、箱ＡとＣに黒２個ずつを入れておくとき、１８（通り）
予め箱Ｃに白２個、箱ＡとＢに黒２個ずつを入れておくとき、１８（通り）
予め箱Ａ、Ｂ、Ｃに白１個ずつ入れた場合は、黒６個を箱Ａ、Ｂ、Ｃに黒２個ずつ入れる必要
があるので、これが１通りある。
よって、求める場合の数は、 ３×１８＋１＝５５（通り）
Ⅵ． ｘｙ 平面において、曲線 ｙ＝ｓｉｎ ｘ と ｙ＝ａ・ｓｉｎ（ｘ/２） がある。ただし、ａ は実数の定数
であり、ｘ の取り得る範囲は、０≦ｘ≦２πである。この２曲線は、０＜ｘ＜２πの範囲にお
いて、ただ一つ交点を持つものとし、その交点の ｘ 座標を ｘ0 とする。このとき、この２曲
線で囲まれる図形は２つあり、ｙ 軸と直線 ｘ＝ｘ0 で挟まれる方の面積をＳ1、もう一方の
面積をＳ2とする。Ｓ1＝４Ｓ2 であるとき、次の問いに答えよ。
（１） ａ を ｘ0 で表せ。
（２） ａ の値を求めよ。
（解）（１） ｓｉｎ ｘ ＝ａ・ｓｉｎ（ｘ/２） より、 ２ｓｉｎ（ｘ/２）ｃｏｓ（ｘ/２）＝ａ・ｓｉｎ（ｘ/２）
０＜ｘ＜２πより、 ０＜ｘ/＜π なので、 ｓｉｎ（ｘ/２）≠０
よって、 ａ＝２ｃｏｓ（ｘ0/２）
（２） Ｓ1＝∫0ｘ0 （ｓｉｎ ｘ －ａ・ｓｉｎ（ｘ/２））ｄｘ＝[－ｃｏｓ ｘ ＋２ａ・ｃｏｓ（ｘ/２）]0ｘ0
＝－ｃｏｓ ｘ 0＋２ａ・ｃｏｓ（ｘ0/２）＋１－２ａ
＝－ｃｏｓ ｘ 0＋４ｃｏｓ2（ｘ0/２）＋１－２ａ
＝－ｃｏｓ ｘ 0＋２＋２ｃｏｓ ｘ 0＋１－２ａ＝３－２ａ＋ｃｏｓ ｘ 0
Ｓ2＝∫ｘ02π （ａ・ｓｉｎ（ｘ/２）－ｓｉｎ ｘ ）ｄｘ＝[－２ａ・ｃｏｓ（ｘ/２）＋ｃｏｓ ｘ ]ｘ02π
＝２ａ＋１＋２ａ・ｃｏｓ（ｘ0/２）－ｃｏｓ ｘ0
＝２ａ＋１＋４ｃｏｓ2（ｘ0/２）－ｃｏｓ ｘ0
＝２ａ＋１＋２＋２ｃｏｓ ｘ0－ｃｏｓ ｘ0＝２ａ＋３＋ｃｏｓ ｘ0
Ｓ1＝４Ｓ2 より、 ３－２ａ＋ｃｏｓ ｘ 0＝４（２ａ＋３＋ｃｏｓ ｘ0） なので、
１０ａ＋９＋３ｃｏｓ ｘ0＝０
ここで、 ｃｏｓ ｘ0＝２ｃｏｓ2（ｘ0/２）－１＝ａ2/２－１ なので、 ３ａ2/２＋１０ａ＋６＝０
すなわち、 ３ａ2＋２０ａ＋１２＝０ から、（３ａ＋２）（ａ＋６）＝０ より、ａ＝－２/３、－６
ここで、ａ＝２ｃｏｓ（ｘ0/２） から、 －２≦ａ≦２ なので、 ａ＝－２/３ （終）
Ⅶ． ｘｙｚ 空間に点Ｏを中心とする半径２の球面Ｓがあり、Ｓ上に異なる３点Ａ、Ｂ、Ｃをとる。
ここで、△ＡＢＣは ｘｙ 平面上にある正三角形で、点Ａの座標は（２，０，０）であり、点Ｂの
ｙ 座標の値が正であるとする。Ｓ上にある点Ｐが、∠ＢＯＰ＝π/６ という条件を満たして
動くとき、ｚ 座標の値が最小であるような点ＰをＰ1とする。このとき、以下の問いに答えよ。
（１） Ｐ1の座標を求めよ。
（２） Ｓ上にある点Ｑが∠ＱＯＰ1＝π/６という条件を満たして動くとき、線分ＡＱの長さが最
小となる点ＱをＱ1とする。このとき、三角錐ＡＢＣＱ1の体積はいくらか。
（解）（１） 題意より、Ｂ（－１，
，０）、Ｃ（－１，－，０）である。点Ｐより、線分ＯＢに下
ろした垂線の足をＯ’とおくと、 ＯＯ’＝ 、ＰＯ’＝１ である。
このとき、Ｏ’の座標は、（/２）（－１，，０）＝（－/２，３/２，０） となる。
題意より、 Ｐ1（－/２，３/２，－１） である。
（２） （１）と同様に、点Ｑより線分ＯＰ1に下ろした垂線の足をＯ”とおくと、
ＯＯ”＝ 、ＱＯ”＝１ である。このとき、点Ｏ”の座標は、
（/２）（－/２，３/２，－１）＝（－３/４，３/４，－/２） となる。
Ｑ（ｘ，ｙ，ｚ）とおくと、ＱはＳ上の点なので、 ｘ2＋ｙ2＋ｚ2＝４
さらに、ＱＯ”＝１ なので、 （ｘ＋３/４）2＋（ｙ－３/４）2＋（ｚ＋/２）2＝１
このとき、 １－（ｘ＋３/４）2＝（ｙ－３/４）2＋（ｚ＋/２）2≧０ より、
－７/４≦ｘ≦１/４ である。
題意より、線分ＡＱの長さが最小となる点ＱがＱ1なので、
ＡＱ2＝（ｘ－２）2＋ｙ2＋ｚ2＝ｘ2＋ｙ2＋ｚ2－４ｘ＋４＝８－４ｘ は、ｘ＝１/４ のとき最小
このとき、 ｙ＝３/４ 、ｚ＝－/２ より、 Ｑ1（１/４，３/４，－/２） となる。
従って、求める三角錐ＡＢＣＱ1の体積は、
（１/３）・△ＡＢＣ・（/２）＝（１/３）・（/４）（２）2・（/２）＝３/２ （終）
以下、工事中！