０６１	令和５年度前期	京都大学	理系	・・・	積分（数�V）他	やや易

京都大学　前期理系（２０２３）

第１問　次の問いに答えよ。

（１）　定積分 ∫₁⁴ √ｘ・ｌｏｇ（ｘ²）ｄｘ の値を求めよ。

（２）　ｘ²⁰²³−１ を ｘ⁴＋ｘ³＋ｘ²＋ｘ＋１ で割った余りを求めよ。


（解）（１）　√ｘ＝ｔ　とおくと、　ｘ＝ｔ²　で、ｘ＝１　のとき、ｔ＝１　、ｘ＝４　のとき、ｔ＝２

　また、ｄｘ＝２ｔｄｔ　なので、　与式＝∫₁² ｔ・ｌｏｇ（ｔ⁴）・２ｔｄｔ＝８∫₁² ｔ²・ｌｏｇ（ｔ）ｄｔ

から、

与式＝８（［（ｔ³/３）・ｌｏｇ（ｔ）］₁²−∫₁² ｔ²/３ｄｔ）＝８（（８/３）ｌｏｇ２−［ｔ³/９］₁²）

　　＝８（（８/３）ｌｏｇ２−７/９）＝（６４/３）ｌｏｇ２−５６/９


（コメント）　教科書レベルの易しい定積分計算でした。


（２）　ｘ を１の５乗根（虚数）とすると、　ｘ⁵−１＝０　で、　（ｘ−１）（ｘ⁴＋ｘ³＋ｘ²＋ｘ＋１）＝０

　　ｘ≠１　より、　ｘ⁴＋ｘ³＋ｘ²＋ｘ＋１＝０

　このとき、　ｘ²⁰²³−１＝（ｘ⁵）⁴⁰⁴・ｘ³−１≡ｘ³−１　（ｍｏｄ　ｘ⁴＋ｘ³＋ｘ²＋ｘ＋１）　なので、

ｘ²⁰²³−１ を ｘ⁴＋ｘ³＋ｘ²＋ｘ＋１ で割った余りは、　ｘ³−１　である。　　（終）


（コメント）　大学入試の解答で、合同式の考えを用いていいものかどうか迷いますが、易し
　　　　　　い問題でした。