０６０	令和５年度前期	東京大学	理系	・・・	確率（数Ａ）	やや易

東京大学　前期理系（２０２３）

第２問　黒玉３個、赤玉４個、白玉５個が入っている袋から玉を１個ずつ取り出し、取り出し
　　　　た玉を順に横一列に１２個すべて並べる。ただし、袋から個々の玉が取り出される確
　　　　率は等しいものとする。

（１）　どの赤玉も隣り合わない確率を求めよ。
（２）　どの赤玉も隣り合わないとき、どの黒玉も隣り合わない条件付き確率を求めよ。

＃文系第３問と共通

（解）（１）　黒玉３個、赤玉４個、白玉５個を横一列に並べる場合の数は、

　　　　　１２！/（３！４！５！）＝２７７２０（通り）

　黒玉３個、白玉５個を横一列に並べる場合の数は、　８！/（３！５！）＝５６（通り）

この１通りに対して、赤玉４個を入れる場所を９個の隙間から選ぶ場合の数は、

　₉Ｃ₄＝１２６（通り）

　よって、どの赤玉も隣り合わない場合の数は、　５６×１２６＝７０５６（通り）

　以上から、求める確率は、　７０５６/２７７２０＝１４/５５

（２）　白玉５個を横一列に並べ、その隙間に黒３個を入れる。

　・隙間に１個ずつ入れる場合の数は、　₆Ｃ₃＝２０（通り）

　　　この１通りに対して、赤玉４個を隙間に入れる場合の数は、₉Ｃ₄＝１２６（通り）

　　よって、この場合の場合の数は、　２０×１２６＝２５２０（通り）

　・隙間に２個、１個を入れる場合の数は、　₆Ｃ₂×２！＝３０（通り）

　　　この１通りに対して、赤玉４個を隙間に入れる場合の数は、

　　黒玉２個続きの間に必ず赤玉が入ることに注意して、　₈Ｃ₃＝５６（通り）

　　よって、この場合の場合の数は、　３０×５６＝１６８０（通り）

　・隙間に３個を入れる場合の数は、　₆Ｃ₁＝６（通り）

　　　この１通りに対して、赤玉４個を隙間に入れる場合の数は、

　　黒玉３個続きの間に必ず赤玉が入ることに注意して、　₇Ｃ₂＝２１（通り）

　　よって、この場合の場合の数は、　６×２１＝１２６（通り）

　以上から、どの赤玉も隣り合わず、どの黒玉も隣り合わない場合の数は、

　　　２５２０＋１６８０＋１２６＝４３２６（通り）

　以上から、求める条件付き確率は、　４３２６/７０５６＝１０３/１６８　　（終）


（コメント）　教科書レベルの平易な確率の問題でした。