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| ０５８ | 令和２年度前期 | 一橋大学 | 全学部 | ・・・ | 整数（数Ａ・Ｂ） | やや難 |
一橋大学 前期（２０２０）
次の問いに答えよ。
（１） １０10を２０２０で割った余りを求めよ。
（２） １００桁の正の整数で各位の数の和が２となるもののうち、２０２０で割り切れるものの
個数を求めよ。
（解）（１） ２０２０×５＝１０１００ なので、
１０4＝２０２０×５−１００≡−１００＝−１０2 （ｍｏｄ ２０２０）
よって、 １０8≡１０4≡−１０2 （ｍｏｄ ２０２０） より、
１０10≡−１０4≡１０2 （ｍｏｄ ２０２０） なので、求める余りは、１００
（２） １００桁の正の整数をＮとおく。
・Ｎ＝２×１０99 のとき、
１０99＝（１０4）24・１０3≡（−１０2）24・１０3≡１０46・１０3≡（１０4）11・１０5
≡（−１０2）11・（−１０2）・１０≡１０25≡（１０4）6・１０≡（−１０2）6・１０≡１０13
≡（１０4）3・１０≡（−１０2）3・１０≡−１０7≡−１０4・１０3≡１０5≡−１０3
より、 Ｎ≡−２０００ （ｍｏｄ ２０２０） なので、Ｎは２０２０で割り切れない。
・Ｎ＝１０・・・１・・・０ （最高位は１で、もう１個の１は最高位以外任意の位） のとき、
２０２０＝２2・５・１０１＝２０×１０１ で、２０と１０１が互いに素なので、
Ｎが２０２０で割り切れるための必要十分条件は、
２０ および １０１ で割り切れることである。
Ｎ＝１０・・・１・・・０が２０で割り切れるのは、下２桁が００のとき
その場合の数は、１１０・・・００から１０・・・１００までの ９９−３＋１＝９７（個）あり、
一般的に、 Ｎ＝１０99＋１０ｋ （ｋ＝２、３、・・・、９８） と書ける。
Ｎ＝（１０99-k＋1）１０ｋ において、Ｎが１０１で割り切れるのは、１０2と１０１が互いに素
であることから、１０99-k＋1 （ｋ＝２、３、・・・、９８） が１０１で割り切れればよい。
ここで、 １０99-k＋1≡０ （ｍｏｄ １０１） より、 １０99-k≡−１ （ｍｏｄ １０１）
１０97＋1、１０96＋1、・・・、１０2＋1、１０＋1 のうちで、この性質を満たすものは、
１０2＝１００≡−１ （ｍｏｄ １０１）
１０3≡−１０ （ｍｏｄ １０１）
１０4≡−１０2≡１ （ｍｏｄ １０１）
１０5≡１０ （ｍｏｄ １０１）
１０6≡１０2≡−１ （ｍｏｄ １０１）
・・・・・・・・・・・・・
より、 １０2＋1、１０6＋1、１０10＋1、・・・、１０94＋1 の ２４個存在する。
以上から、求める場合の数は、 ２４個 （終）