０５６	平成３１年度前期	横浜国立大学	理系	・・・	ベクトル（数Ｂ）	標準

横浜国立大学　前期理系（２０１９）

　１辺の長さが１である正四面体OABCがある。辺OA上に点Ｄ、辺OB上に点E、辺OC上に
点Ｆがあり、OD：DA＝１：１　、OE：EB＝２：１　、OF：FC＝２：３　を満たしている。

　さらに辺OBと辺ACの中点をそれぞれＭ、Ｎとする。平面DEFと直線ＭＮの交点をＰとする。
ベクトルOA、OB、OCをａ、ｂ、ｃとおく。

　次の問いに答えよ。

（１）　ＭＮを求めよ。

（２）　OPをａ、ｂ、ｃを用いて表せ。

（３）　ＭＰを求めよ。


（解）（１）　OM＝（１/２）ｂ　、OＮ＝（１/２）（ａ＋ｃ）　より、

　　　　　ＭＮ＝（１/２）（ａ＋ｃ）−（１/２）ｂ＝（１/２）（ａ−ｂ＋ｃ）

　　よって、　４MN²＝１＋１＋１−２（１/２）−２（１/２）＋２（１/２）＝２　より、

　　　ＭＮ²＝１/２　すなわち、　ＭＮ＝１/

（２）　OP＝（１−ｔ）OM＋ｔOＮ＝（１−ｔ）/２・ｂ＋（ｔ/２）・（ａ＋ｃ）

　　　　　＝（１−ｔ）/２・（３/２）OE＋（ｔ/２）（２OD＋（５/２）OF）

　　　　　＝ｔ・OD＋３（１−ｔ）/４・OE＋（５ｔ/４）・OF

　　点Pは平面DEF上にあるので、　ｔ＋３（１−ｔ）/４＋（５ｔ/４）＝１

　よって、　（３/２）ｔ＝１/４　より、　ｔ＝１/６　なので、

　　OP＝（５/１２）・ｂ＋（１/１２）・（ａ＋ｃ）＝（ａ＋５ｂ＋ｃ）/１２

（３）　ＭＰ＝（１/）・（１/６）＝/１２　　（終）