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| ０５２ | 平成３１年度 | 早稲田大学 | 理工学部 | ・・・ | 整数問題（数Ａ） | やや易 |
解くためのヒントが用意されていて設問が良心的ですね。
早稲田大学 基幹・創造・先進理工学部（２０１９）
自然数ｎについて、次のような命題を考える。
(*) ｎ2＋１、２ｎ2＋３、６ｎ2＋５ がすべて素数である
（１） ｎ＝５ｋ（ｋは自然数）のとき、ｎは(*)を満たさないことを示せ。
（２） (*)を満たすようなｎは、ｎ＝１、２のみであることを示せ。
（解）（１） ｎ＝５ｋ（ｋは自然数）のとき、
ｎ2＋１＝２５ｋ2＋１
２ｎ2＋３＝５０ｋ2＋３
６ｎ2＋５＝１５０ｋ2＋５＝５（３０ｋ2＋１） ・・・ 素数でない
以上から、ｎは(*)を満たさない。
（２） ｎ＝１ のとき、
ｎ2＋１＝２ 、２ｎ2＋３＝５ 、６ｎ2＋５＝１１
はすべて素数となり、(*)を満たす。
ｎ＝２ のとき、
ｎ2＋１＝５ 、２ｎ2＋３＝１１ 、６ｎ2＋５＝２９
はすべて素数となり、(*)を満たす。
３以上のｎについて、
ｎ＝５ｋ（ｋ≧１）のとき、（１）から、ｎは(*)を満たさない。
ｎ＝５ｋ±１（ｋ≧１） のとき、
２ｎ2＋３＝５０ｋ2±２０ｋ＋５＝５（１０ｋ2±４ｋ＋１） ・・・ 素数でない
よって、ｎは(*)を満たさない。
ｎ＝５ｋ±２（ｋ≧１） のとき、
ｎ2＋１＝２５ｋ2±２０ｋ＋５＝５（５ｋ2±４ｋ＋１） ・・・ 素数でない
よって、ｎは(*)を満たさない。
以上から、(*)を満たすようなｎは、ｎ＝１、２のみである。 （終）
DD++さんからのコメントです。（平成３１年４月７日付け）
この問題の場合、
(n^2+1)(2n^2+3)(6n^2+5)
= 12n^6+40n^4+43n^2+15= (12n^6-60n^4+48n^2)+(100n^4-5n^2+15)
= 12n*(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 5(20n^4-n^2+3)
と変形することで、これらの積が常に5の倍数であること、すなわち、全て素数ならばいずれ
かが5であることを示せます。
そこで生じた疑問ですが、このようなやり方はいつでも可能なのでしょうか？
すなわち、
いくつか（有限個）の整式 P(n), Q(n), R(n), …… がいずれも任意の自然数nに対して自然
数値をとるとき、全ての整式の値が素数になるｎが有限個しかないならば、
積P(n)*Q(n)*R(n)*…… がｎの値によらず、ある素数pの倍数となっている。
これは真なのでしょうか。どなたか情報をお持ちでしたらご教示ください。
らすかるさんからのコメントです。（平成３１年４月７日付け）
偽ですね。
ｎが自然数のときに自然数値をとる関数P(n)=n^3+1, Q(n)=n+1に対して、両方とも素数に
なるのは明らかに、n=1 のときのみですが、
P(1)Q(1)=2^2 、P(2)Q(2)=3^3
なので条件を満たす素数pは存在しません。
# 「各整式が既約」という条件がある場合はどうなるのでしょうね。
DD++さんからのコメントです。（平成３１年４月７日付け）
あ、そうですね、「既約な」整式とつけておくべきでしたね。
らすかるさんからのコメントです。（平成３１年４月７日付け）
既約な整式として、「ブニャコフスキー予想」と大いに関係ありそうですね。
DD++さんからのコメントです。（平成３１年４月７日付け）
もう1つ。(n^2+n+4)/2 みたいに、係数に分数を含むが任意のnに対して自然数値をとる多
項式を含めるか否かという点も問題になる可能性がありますね。
これは……どうすべきなんだろう？